Estudio de casos

Definición Asíntotas
Se llama asíntota de una función f(x) a una recta t cuya distancia a la curva tiende a cero, cuando x tiende a infinito o bien x tiende a un punto a.

Asíntota vertical
Larecta x=a es asíntota vertical (AV) de f(x) si limx->a+ f(x) = inf o limx->a- f(x) = inf.

Definición
Asíntota horizontal
La recta y=b es asíntota horizontal (AH) de f(x) si limx->inff(x) = b.

Ejemplo
f(x) = x/(x-1)

limx->1+ f(x) = +inf
limx->1- f(x) = -inf

=> x=1 es AV de f(x)

limx->inf f(x) = 1

=> y=1 es AH de f(x) |        | |
DefiniciónAsíntota oblicua
La recta y = mx + n es asíntota oblicua (AO) de f(x) si limx->inf f(x) - (mx + n) = 0.

Ejemplo
f(x) = x + 1/x

limx->inf f(x) - x = limx->inf x + 1/x - x = 0=> y=x es AO de f(x)

Además,
limx->0+ f(x) = +inf
limx->0- f(x) = -inf
=> x=0 es AV de f(x) |     | |
Teorema
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y = mx + n esasíntota oblicua de f(x) <=>
n = limx->inf f(x) - mx
m = limx->inf f(x)/x
Demostración:
Directo:
Por hipótesis lim f(x) - (mx + n) = 0x->inf

=> lim f(x) - mx - n = 0
x->inf

=> lim f(x) - mx = nx->inf
n
---^---f(x) f(x) f(x) - mx
=> lim ---- = lim ---- - m + m = lim --------- + m = m
x->inf x x->inf x x->inf xRecíproco:
lim f(x) - (mx + n) = lim f(x) - mx - n = 0
x->inf x->inf
=> por definición y = mx + n es asíntota oblicua de f(x).