estudios

Probabilidad: problemas resueltos
B ENITO J. G ONZÁLEZ RODRÍGUEZ (❜❥❣❧❡③❅✉❧❧✳❡s)
D OMINGO H ERNÁNDEZ A BREU (❞❤❛❜r❡✉❅✉❧❧✳❡s)
M ATEO M. J IMÉNEZ PAIZ (♠❥✐♠❡♥❡③❅✉❧❧✳❡s)
M. I SABEL M ARRERO RODRÍGUEZ (✐♠❛rr❡r♦❅✉❧❧✳❡s)
A LEJANDRO S ANABRIA G ARCÍA (❛s❣❛r❝✐❛❅✉❧❧✳❡s)
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de La Laguna

Índice
5. Problemas resueltos

1

5.1. Probabilidad . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

5.2. Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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M ATEMÁTICA A PLICADA Y E STADÍSTICA

OCW-ULL 2013

P ROBABILIDAD : PROBLEMAS RESUELTOS

5.

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Problemas resueltos

5.1.

Probabilidad

Ejercicio 5.1. Estudios sobre la depresiónmuestran que la aplicación de un determinado tratamiento mejora
el estado del 72 % de las personas sobre las que se aplica, no produce efecto alguno en un 10 % y empeora el
estado del resto. Si se trata un paciente que sufre de depresión, determinar la probabilidad de que empeore.
Calcular también la probabilidad de que el tratamiento no vaya en detrimento de su estado.

R ESOLUCIÓN . Seanlos sucesos:

A1 = {el tratamiento mejora el estado del paciente},
A2 = {el tratamiento no produce efecto sobre el estado del paciente},
A3 = {el tratamiento empeora el estado del paciente}.

Nótese en primer lugar que los sucesos anteriores forman un sistema completo para el experimento considerado
(a saber, la administración de un tratamiento a pacientes que sufren de depresión), ya que elespacio muestral
Ω puede descomponerse como:
Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 .
Por hipótesis, P(A1 ) = 0.72 y P(A2 ) = 0.1. Consecuentemente

P(Ω) = 1 = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ),

esto es:
1 = 0.72 + 0.1 + P(A3 ),
de manera que la probabilidad de que un paciente que sufre de depresión empeore con el tratamiento resulta
ser:
P(A3 ) = 1 − 0.82 = 0.18.
Por otra parte, si el tratamiento no va endetrimento del estado del paciente, dicho tratamiento o bien
mejora, o bien no produce efecto sobre el estado del mismo. Luego, escribiendo

B = {el tratamiento no va en detrimento del paciente},
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B. G ONZÁLEZ , D. H ERNÁNDEZ , M. J IMÉNEZ , I. M ARRERO , A. S ANABRIA

se verifica que
B = A1 ∪ A2 = Ac3 ,
y por tanto
P(B) = P(A1 ∪ A2) = P(A1 ) + P(A2 ) = 0.82
(pues A1 ∩ A2 = 0),
/ o bien
P(B) = P(Ac3 ) = 1 − P(A3 ) = 1 − 0.18 = 0.82.

5.2.

Teorema de Bayes

Ejercicio 5.2. Dos tratamientos A y B curan una determinada enfermedad en un 20 % y en un 30 % de los
casos, respectivamente. Suponiendo que ambos actúan de modo independiente, ¿cuál de las dos estrategias
siguientes es mejor?
a) Aplicar ambos tratamientos ala vez.
b) Aplicar primero el tratamiento B, y si no surte efecto aplicar el tratamiento A.

R ESOLUCIÓN . Sean los sucesos:

A = {el tratamiento A cura una determinada enfermedad},
B = {el tratamiento B cura la misma enfermedad}.

Por hipótesis sabemos que P(A) = 0.2 y P(B) = 0.3.
a) Consideramos en primer lugar la estrategia de aplicar ambos tratamientos a la vez. La probabilidad quetiene dicha estrategia de curar la enfermedad viene dada por

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B),

pues al aplicar ambos tratamientos a la vez, o bien actúa uno, o bien el otro, o bien los dos al mismo tiempo.
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Ahora bien, se supone que los tratamientos actúan de manera independiente, por loque

P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 0.2 · 0.3 = 0.06,

y entonces
P(A ∪ B) = 0.2 + 0.3 − 0.06 = 0.44.
Luego, los dos tratamientos aplicados a la vez curan la enfermedad en un 44 % de los casos.

b) Si aplicamos primero el tratamiento B, puede ocurrir que éste cure la enfermedad o no. Si cura la enfermedad, esta estrategia tiene probabilidad P(B) = 0.3. Si el tratamiento B no surte efecto...