Factorizacion

FACTORIZACION CHOLESKY Y LU
Ambas factorizaciones tienen como fin la solución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices de tamaño n x n.
En la factorización de Cholesky se debe identificaruna matriz de dimensión n x n, es decir que la matriz debe tener misma cantidad de filas por la misma cantidad de columnas. La matriz debe ser de tipo simétrica, es decir, . También es necesario que lamatriz sea definida positiva, es decir, que el determinante de la matriz debe ser diferente de 0. Son estas las dos condiciones para que se pueda hacer el proceso de factorización de Cholesky.Después de cumplir las dos condiciones matriciales de dicho caso, se puede factorizar de una forma tal que A sea igual al producto entre la matriz L por la matriz L transpuesta (A = L*LT), donde L es unamatriz triangular inferior.
Obtendríamos las siguientes matrices:

Donde,
a 11 = l 11 2a
 21 = l 21 l 11
a 22 = l 21 2 + l 2 22
a 32 = l 31 l 21 + l 32 l 22l 32 = ( un 32 - l 31 l 21 ) / l 22 ,etc

Por otro lado tenemos la factorización LU que es un poco más sencilla con ejercicios mas sencillos con el mismo propósito de la factorización de Cholesky. Al igual que en la factorización deCholesky la matriz original es el producto de dos matrices triangulares A = LU. Donde L es una matriz triangular inferior n x n y U es una matriz escalonada m x n, entonces (Ax=b) = (Ax = (LU)x = L(Ux)Suponga que la matriz A es una matriz m × n se puede escribir como el producto de dos matrices:
A = L U
Donde L es una matriz triangular inferior m × m y U es una matriz escalonada m× n. Entoncespara resolver el sistema:
A x = b,
Escribimos
A x = (L U) x = L (U x).
Una posible estrategia de solución consiste en tomar y = U x y resolver para y:
L y = b.
Como la matriz L es triangularsuperior este sistema puede resolverse mediante sustituci´on hacia abajo, lo cual se hace fácilmente en m2 FLOPS. Una vez con los valores encontrados de y, las incógnitas al sistema inicial se...