Factorización

Factorización

En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factorizacomo binomio conjugados (a - b)(a + b).
La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra.
En ocasiones para poder resolver un problema que involucre expresiones algebraicas es conveniente representarlas como productos, cuando esto sea posible se diráque se ha factorizado y presentamos algunos casos de los más comunes en álgebra elemental.

Factor Común
Factorizar por factor común una expresión algebraica es representarla como un producto mediante el uso de una o varias veces de la propiedad distributuva de los números reales, que como ya sabemos es: xy + xz = x(y+z). Ver

La Ley del Mosquetero
Ejemplo 1 . Factorizar
a) x2 — 9x =x(x—9)
b) 6x3y2 - 4x2y5 + 18xy6 = 2xy2 (3x2 — 2xy3 + 9y4)
c) 5x3 — lOx2 + 15x = 5x(x2 — 2x + 3)

Binomios con Término Semejante (ax+b)(cx+d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
Este método se basa en el hecho de que si aplicamos dos veces la ley distributiva, ver Ley del Mosquetero al siquiente producto: (ax+b)(cx+d) obtenemos como resultado ac x2 + (ad + bc) x + bd
Para una forma más eficiente desu uso veamos el mismo resultado de la siguiente forma:
ac x2 | + (ad + bc) x | + bd |
a |   | b |
c |   | d |
Al acomodar los factores adecuados abajo de la expresión, si multiplicamos en cruz: a por c y b por b vemos que su suma es el coeficiente de x, por lo que esto nos dá una herramienta directa para factorizar expresiones de esta forma.
Ejemplo 2
Factorizar 6 x2 + 13 x + 6
6x2 | + 13 x | + 6 |
3 |   | 2 |
2 |   | 3 |

Vemos que colocando los factores de esta forma los productos cruzados son 9 y 4 y como la suma es 13 que es el término de enmedio el resultado es
(3x + 2) (2x + 3) |
Vemos que acomodamos los términos de otra forma no obtenemos el resultado, por ejemplo si escribimos:
6 x2 | + 13 x | + 6 |
3 |   | 3 |
2 |   | 2 |
El resultado dela suma de los productos cruzados es 6 + 6 = 12 que no es el coeficiente del segundo término, por lo que el éxito de este método es el de probar y encontrar los factores adecuados, con los signos y el orden correcto.
Ejemplo 3:
Factorizar 5 x2 - 7 x - 6
5 x2 | - 7 x | - 6 |
5 |   | +3 |
1 |   | −2 |
Vemos que colocando los factores de 5 y de −6 de esta forma los productoscruzados son −10 y 3 y como la suma es −7 que es el término de enmedio el resultado es
(5x + 3) (x - 2) |
Ejemplo 4:
Factorizar 9a2 — l2ab3 + 4b6
9a2 — l2ab3 |   | + 4b6 |
3a |   | −2b3 |
3a |   | −2b3 |
Vemos que colocando los factores de 3 y de −2 de esta forma los productos cruzados son −6 y −6 y como la suma es −12 que es el término de enmedio el resultado es
(3a - 2b3)(3a - 2b3)|

(3a - 2b3)2 |
Productos notables

Como factorizar es basicamente lo contrarío de multiplicar, uno de los metódos más útiles en factorizaclón se obtiene al aplicar los [Productos Notables]], ya que son productos con los que el alumno está familiarizado.
Es importante señalar que si el alumno no domina los productos notables, este método en lugar de ser útil puede ser perjudicial, porlo que el alumno y el masetro deben de estar consientes de que sio no se tiene el tiempo suficiente para apreder y practicar los productos notables, es mejor no ver este método.
División Sintética o Regla de Ruffini:
Esta se utiliza cuando el divisor es de la forma * x – a* . Por medio de este procedimiento, se obtiene más fácilmente los Coeficientes en una división de polinomios. Aplicando...