Fallas

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INTEGRACIÓN NUMÉRICA
La integración numérica es un conjunto de algoritmos que se utilizan para calcular el valor numérico de una integral definida, El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:


La razón por la cual se usa la integración numérica es que mediante estas se hace más fácil la solución de integralesdefinidas donde los métodos numéricos no son aplicables, donde se requiera un gran conocimiento de la matemática avanzada.
REGLA DEL RECTANGULAR
El método más simple de este tipo es hacer a la función interpoladora ser una función constante (un polinomio de orden cero) que pasa a través del punto (a,f(a)). Este método se llama la regla rectangular

Se emplea para resolver integrales definidas enel cálculo numérico, es decir calcular el área bajo la curva entre dos limites conocidos, dividiéndolas entre n sub áreas para calcular su valor, asumiendo cada sub área como un pequeño trapecio.
REGLA TRAPEZOIDAL
La función interpoladora puede ser una función afín (un polinomio de grado 1 o sea una recta) que pasa a través de los puntos y. Este método se llama regla trapezoidal:


SiEsta función se llama regla del trapecio porque cuando f es una función con variables positivas, aproximamos por el área de un trapecio. Como esta regla contiene f´´, la regla da el resultado exacto cuando se aplica a una función cuya derivada sea cero, es decir, cualquier función cuyo polinomio de grado 1 o menos.

Ilustración de la regla del trapecio.

REGLA DE SIMPSON
La funcióninterpoladora puede ser un polinomio de grado 2 que pasa a través de los puntos, y . Este método se llama la regla de Simpson:
.

Si

Dado que el término de error contiene la cuarta derivada de f, esta regla proporciona resultados exactos al aplicarse a un polinomio cualquiera de grado 3 o de grado menor

Ilustración de la regla de Simpson.

CUADRATURA GAUSSIANA
Las formulas de la reglatrapezoidal y regla de Simpson utilizan nodos equidistantes y dan valores exactos para polinomios de menor grado menor o igual a n (n=1 caso de regla trapezoidal y n=2 caso de la regla de Simpson 9. La elección de puntos equidistantes no es mejor. Puede seleccionarse los puntos de manera que mejore la aproximación.
La cuadratura gaussiana selecciona los puntos de manera optima; el método consisteen seleccionar x1, x2…xn en [a, b] y los coeficientes c1, c2…cn que minimicen el error de la aproximación.

Si queremos medir esta exactitud, supondremos que la selección optima de estos valores es la que dé el resultado exacto de la clase más numerosa de polinomios, es decir, la selección que ofrezca el máximo grado de precisión.
En la formula de aproximación los coeficientes c1, c2…cn sonarbitrarios y los nodos x1, x2…xn están restringidos solo por la especificación que se encuentra entre [a, b] el intervalo de la integración. Esto nos da 2n parámetros de donde elegir, si los coeficientes de un polinomio se consideran parámetros, la clase de polinomios de grado máximo 2n-1 también contiene 2n parámetros. Así pues, este es el tipo de polinomio más amplio en que es posible esperarque la formula sea exacta. Se puede lograr la exactitud cuando los valores y constantes se seleccionen bien.

 Ejercicios resueltosEn los ejercicios 1 a 3, use (a) la Regla del Trapecio y (b) la Regla de Simpson, con el valor de n indicado para estimar las integrales definidas. Aplique valores aproximados de f (xk) que tengan una precisión de cuatro decimales y redondee las respuestas a dosdecimales. Ninguna de las integrales definidas de los ejercicios 4 a 6 puede ser evaluada exactamente en términos de funciones elementales. Utilice la Regla de Simpson, con el valor de n que se indica, para determinar un valor aproximado de la integral definida dada. Exprese el resultado con tres cifras decimales. |
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S o l u  c i o n e s

 

 

 

 

 

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