Fisica

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7. La transformada de la place

Sea f(t) una función definida para [pic]; entonces se define a la Transformada de Laplace de f como la siguiente integral.
[pic]
Siempre que el límite exista.

La Transformada de Laplace de una función f se simboliza por [pic] y como el resultado depende de S entonces se escribe también F(s)

Es decir [pic]

La Transformada de Laplace es una operaciónlineal.
Esto quiere decir que para una suma de funciones se puede escribe la transformada de la siguiente forma:

[pic]

[pic]

Ejercicios

Calcular las siguientes Transformadas de Laplace

[pic]

[pic]

Tabla de las principales Transformadas de Laplace
[pic]

Ejercicios

Calcular las Transformadas de Laplace siguientes:

[pic]

La Transformada de Laplace Inversa

Usando ladefinición integral de la Transformada de Laplace de una función f se determino otra función F, esto es, una función del parámetro S de la transformada. Lo que simbólicamente se expresa por:
[pic]

Ahora se invertirá el problema, es decir que dada la función F(s) se desea encontrar la función f(t) que corresponde a esta transformada. En este caso se dice que f(t) es la Transformada Inversade Laplace de F(s) y se escribe así:

[pic]

Cuadro de algunas Transformadas Inversas

[pic]

La Transformada de Laplace inversa es una operación lineal

Esto significa que cumple la siguiente propiedad

[pic]

En donde F y G son las Transformadas de ciertas funciones f y g.
Debe tomarse muy en cuenta que la Transformada Inversa de Laplace de una funcion F(s) puede no ser única.Sin embargo, [pic] y [pic] son continuas para [pic] y [pic] entonces necesariamente [pic]

Ejercicios

Calcular las siguientes transformadas inversas de Laplace:
[pic]

Fracciones Parciales
El uso de fracciones parciales es muy importante en la búsqueda de transformadas inversas de Laplace. Por tanto de recordar la teoría de las fracciones parciales.

Para que revise la teoría lehacemos acuerdo de los cuatro casos fundamentales que existen en fracciones parciales para los denominadores.

i). Factores de primer grado no repetidos.
ii). Factores de primer grado repetidos.
iii). Factores de segundo grado no repetidos.
iv). Factores de segundo grado repetidos.

Ejercicios

Calcule las siguientes transformadas de Laplace inversas.
[pic]

PROPIEDADES OPERACIONALESPrimer teorema de traslación
Si a es un número real cualquiera, entonces se cumple que:

[pic]

de donde [pic]

algunas veces se utiliza la siguiente simbología:

[pic]

Ejercicios
Calcular las siguientes transformadas de la Place:

[pic]

Forma Reciproca del Primer Teorema de Traslación

[pic] en donde [pic]

Ejercicios
Calcular las siguientes transformadas inversas[pic]

La Función Escalón Unitario

[pic] [pic]

Ejercicios

Trace las graficas de las siguientes funciones escalón unitario

[pic]
La función escalón unitaria al ser combinada con otras funciones definidas para [pic], “trunca” una parte de sus graficas. (Analice el grafico del ejemplo 3 anterior)

Ejercicios
Analice las siguientes graficas de la funcionn [pic] definidas por [pic],para [pic].

[pic]

Segundo teorema de traslación

Si a>0, entonces

[pic]

Ejercicios
Evaluar las siguientes transformadas de Laplace

[pic]

Halle la transformad de Laplace de la función representada en la siguiente figura

La reciproca del teorema anterior:

[pic]

en donde a>0 y [pic]

Ejercicios

Calcuar[pic]

Derivadas de una transformada

La derivada de unatransformada esta dada por la siguiente igualdad
[pic]

en donde [pic]

Ejercicios

Aplicando la derivada de una transformada, calcular las siguientes transformadas:

[pic]

Transformadas de derivadas integrales

Transformada de una derivada.

Si [pic] son continúa para [pic] y de orden exponencial, y si [pic] es continua parte por parte para [pic], entonces se cumple que:

[pic]...
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