Fluidos compresibles

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X.- FLUJO COMPRESIBLE
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X.1.- RELACIONES ENTRE EL COEFICIENTE ADIABÁTICO Y LA VELOCIDAD DEL SONIDO EN UN FLUIDO COMPRESIBLE Si en un fluido se origina una perturbación, la velocidad de avance del frente de onda correspondiente es proporcional a la raíz cuadrada del cociente entre el modulo de compresibilidad E del fluido y su densidad ρ. En efecto, de acuerdo con laFig X.1, se puede suponer que el émbolo que cierra un cilindro está en equilibrio con el fluido contenido en el mismo, situado en A a la presión p. Al originarse una perturbación, empujando al embolo mediante un incremento de presión dp, durante un tiempo dt, se desplaza a la ver locidad u un cierto espacio, u dt, mientras que el frente de onda elástico y longitudinal originado por la rperturbación en ese tiempo se habrá situado en la posición f a la velocidad c s . En la zona B del cilindro, todavía sin perturbar, se conserva la presión inicial que existía antes de la perturbación p. Igualando la cantidad de movimiento al impulso mecánico se tiene: Cantidad de movimiento: ρ V u = ρ ( cs dt S ) u   ⇒ ρ cs dt S u = S dt dp ; Impulso mecánico: F dt = dp S dt  dp = ρ cs u

A su vez, comoel módulo de compresibilidad E es la relación entre el esfuerzo unitario dp y la disminución unitaria de volumen dv , de la forma: v E= dp dp c = = s dp dV u dt S u V cs dt S ⇒ dp = u E cs ⇒ cs = E ρ

que sustituida en la anterior, permite obtener: ρ c s u = u E cs

Si se supone que la compresión es adiabática, el factor de compresibilidad k es: Teorema de Reech ∂p E = 1 = -v ( )Q = ( ∂p ) =γ ( ∂p ) k ∂v ∂v Q ∂v T = -v γ( ∂p ) ∂v T

X.-159

Fig X.1.- Perturbación en un conducto

en la que el signo (-) es consecuencia de que, al tratarse de una compresión, un aumento de presión dp se corresponde con una disminución de volumen dv. r La expresión general de la velocidad del sonido en un fluido cualquiera c s es: cs = E = ρ= 1 ρ vg Para un gas perfecto: p v = R T ∂p = - v2 g γ ( )T= ( ∂p ) = - R T = γg RT = ∂v 2 ∂v T v = siendo cp el calor específico del fluido en cuestión a presión constante. A su vez: -v( ∂p ) ∂v Q = ( ∂p ) = ( ∂p ) ( ∂ρ ) = ρ ∂v Q ∂ρ Q ∂v Q

γg pv =

c p(γ - 1 ) g T

cs =

E = E = - v ( ∂p ) = ρ ∂v Q

∂p ∂ρ - v ( ) ( ) = ρ ∂ρ Q ∂v Q

=

ρ= 1 vg ∂ρ ( ) =- 1 1 ∂v Q g v2

=

∂p - v( ) (- 1 1 ) = ρ ∂ρ Q g v2

1 ( ∂p ) = ρ g v ∂ρ Q

(∂p ) ∂ρ Q

r en la que se ha tenido en cuenta que v = 1 que permite calcular la velocidad del sonido c s en un fluido ρg compresible, cuando a éste se le somete a una variación de presión dp. r Se sabe que la velocidad c de derrame de un fluido es de la forma: c= 2 g Tcirc = 2g

γ p p0 v0 {1 - ( ) γ- 1 p0

γ-1 γ

}

en la que p0 y v0, son las condiciones iniciales del fluido sinperturbar, que se corresponden con las de un punto de estancamiento por ser, c0 = 0. La velocidad máxima es: c máx = 2g

γ p v = γ-1 0 0

2g

γ R T0 = cs 0 γ-1

2 γ- 1

r en la que c s0 es la velocidad del sonido en las condiciones de estancamiento.
X.-160

X.2.- FORMULACIÓN DE HUGONIOT En una tobera se cumple la ecuación energética: i0 - i =
2 c 2 - c0 = c p (T0 - T ) 2g



- di = 1d ( c 2 ) = c dc 2g g

i la entalpía i la entalpía siendo  0 del fluido a la entrada de la tobera, e  T la temperatura del fluido en un punT0 la temperatura   to de la tobera. Al estudiar la circulación de un fluido por una tobera, se supone que al ser un proceso muy rápido, éste es adiabático, por lo que el fluido no intercambia calor con el medio exterior. De acuerdo con la Fig X.2, laecuación anterior se puede poner en su forma diferencial, y obtener el siguiente sistema de ecuaciones en di: i=u+pv  dQ = du + p dv =   di = du + p dv + v dp  = 0 ⇒ di = v dp   ⇒ dc = - v dp cg c2
Fig X.2.- Tobera Laval

que indica que un aumento de velocidad origina una disminución de presión, y viceversa. Diferenciando la ecuación de continuidad
Diferenciando G = a c γ *= a c =...
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