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Universidad del Zulia

Facultad de Humanidades y Educación

Escuela de Educación

Mención: Matemática y Física

Cátedra: Algebra II

Sección: 002

[pic]

TRANSFORMACIONES MULTIPLES

Integrantes:

Izzi Nina C.I 19.706.586

Linares DiamilethC.I 19.749.502

Zambrano Diana C.I 19.645031

Ollarves Dayana C.I 17.461.664

Prieto Grismar C.I 18483277

Sección 01

Maracaibo, julio del 2009

1. Escriba la definición, la expresión matemática y dos ejemplos de cada uno de los puntos.

❖ TRANSFORMACIONES BILINEALES Y SUS PROPIEDADES

Definición: sea V un ��-espacio vectorial dedimensión n. una aplicación

f: V*V[pic]

(u,v)[pic]

Es una forma bilineal sobre V cuando verifica que:

✓ f(u+u’v)= f(u,v) + f(u’+v) [pic]

✓ f([pic]

✓ f(u,v+v’) = f(u,v)+ f(u,’v) [pic]

✓ f(u,[pic]

Como se podrá ver a continuación que es equivalente a verificar➢ [pic]

[pic]

➢ [pic]

[pic]

Es decir, una aplicación f: V*V[pic] es una forma bilineal si es lineal en cada uno de sus componentes.

A partir de ahora para nosotros ��=[pic] salvo que se diga lo contrario.

Por lo tanto podemos definir las transformaciones bilineales de la siguiente manera:

[pic][pic] con [pic]
Si [pic], [pic] [pic]
Si [pic] , [pic] [pic]

El grupo [pic] es no conmutativo
[pic] [pic]
[pic]
con [pic]
PROPIEDADES DE GRUPO

G1: Asociativa ya que la composición de funciones lo es.
G2: Elemento unidad [pic]
G3: Elemento inverso [pic]
[pic]
No es conmutativo: [pic] [pic]
[pic] ; [pic]
[pic] es isomorfo a las matrices cuadradas 2 x 2 con elproducto de matrices
[pic]
Si transponemos
[pic]
Una transformación bilineal se puede escribir como la composición de una traslación, una inversión y una aplicación afín, según se muestra a continuación:
[pic] [pic] con [pic] → Si [pic] [pic]
Si [pic] [pic]
[pic] ; [pic] ; [pic] → [pic]

Ejemplo dado [pic] definida por

[pic]((x1,x2),(y1,y2))[pic] x1.y2

Es una forma bilineal, ya que para todo (x1, x2), (y1, y2), (z1, z2) [pic] se tiene que f([pic](x1, x2)+[pic](y1, y2), (z1, z2))= f(([pic]x1, x2), (z1, z2))+[pic]y1, y2), (z1, z2)) = [pic]x1, x2), + [pic](y1, y2),

Ejemplo comprobar que la aplicación [pic] definida por f ((x1, x2), (y1, y2))[pic] no es una forma bilineal.Comprobar que la aplicación escalar en [pic]:

f: [pic]

((x1,x2,[pic]),(y1,y2, [pic]))[pic] x1.y1 + x2.y2 + x3.y3

Es una forma bilineal sobre [pic] y hacer la generalización para [pic].

Definición: una forma bilineal f: V*V[pic] es simetrica si f(x,y)= -f(y,x) [pic]

Ejemplo: la aplicación A: [pic] con A(x,y)= 3[pic] es una forma bilineal ya que:

A (y,x)=3[pic]

La aplicación [pic] definida por f (x, y)= [pic] verifica

f (y, x)= [pic]

Así que f es alterada o anti simétrico.

❖ Matriz asociada a una transformación bilineal y sus propiedades

Al igual que ocurre con las aplicaciones lineales, también podemos representar una forma bilineal definida sobre un espacio de dimensión finita por una matriz.

Seaf: V*V[pic] una forma bilineal, dimV= n, y B={[pic]una base de V.

Sea [pic] para todo i=1,……n con

[pic]
Se tiene

[pic]

[pic]

Definición: la matriz

[pic]

Se dice que es la matriz de la forma bilineal f: V*V[pic] en la base B= {[pic] de V. Si denotamos por A= ([pic]

Terminología

f se dice que es simétrica si su matriz A es...
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