Foda
Facultad de Humanidades y Educación
Escuela de Educación
Mención: Matemática y Física
Cátedra: Algebra II
Sección: 002
[pic]
TRANSFORMACIONES MULTIPLES
Integrantes:
Izzi Nina C.I 19.706.586
Linares DiamilethC.I 19.749.502
Zambrano Diana C.I 19.645031
Ollarves Dayana C.I 17.461.664
Prieto Grismar C.I 18483277
Sección 01
Maracaibo, julio del 2009
1. Escriba la definición, la expresión matemática y dos ejemplos de cada uno de los puntos.
❖ TRANSFORMACIONES BILINEALES Y SUS PROPIEDADES
Definición: sea V un ��-espacio vectorial dedimensión n. una aplicación
f: V*V[pic]
(u,v)[pic]
Es una forma bilineal sobre V cuando verifica que:
✓ f(u+u’v)= f(u,v) + f(u’+v) [pic]
✓ f([pic]
✓ f(u,v+v’) = f(u,v)+ f(u,’v) [pic]
✓ f(u,[pic]
Como se podrá ver a continuación que es equivalente a verificar➢ [pic]
[pic]
➢ [pic]
[pic]
Es decir, una aplicación f: V*V[pic] es una forma bilineal si es lineal en cada uno de sus componentes.
A partir de ahora para nosotros ��=[pic] salvo que se diga lo contrario.
Por lo tanto podemos definir las transformaciones bilineales de la siguiente manera:
[pic][pic] con [pic]
Si [pic], [pic] [pic]
Si [pic] , [pic] [pic]
El grupo [pic] es no conmutativo
[pic] [pic]
[pic]
con [pic]
PROPIEDADES DE GRUPO
G1: Asociativa ya que la composición de funciones lo es.
G2: Elemento unidad [pic]
G3: Elemento inverso [pic]
[pic]
No es conmutativo: [pic] [pic]
[pic] ; [pic]
[pic] es isomorfo a las matrices cuadradas 2 x 2 con elproducto de matrices
[pic]
Si transponemos
[pic]
Una transformación bilineal se puede escribir como la composición de una traslación, una inversión y una aplicación afín, según se muestra a continuación:
[pic] [pic] con [pic] → Si [pic] [pic]
Si [pic] [pic]
[pic] ; [pic] ; [pic] → [pic]
Ejemplo dado [pic] definida por
[pic]((x1,x2),(y1,y2))[pic] x1.y2
Es una forma bilineal, ya que para todo (x1, x2), (y1, y2), (z1, z2) [pic] se tiene que f([pic](x1, x2)+[pic](y1, y2), (z1, z2))= f(([pic]x1, x2), (z1, z2))+[pic]y1, y2), (z1, z2)) = [pic]x1, x2), + [pic](y1, y2),
Ejemplo comprobar que la aplicación [pic] definida por f ((x1, x2), (y1, y2))[pic] no es una forma bilineal.Comprobar que la aplicación escalar en [pic]:
f: [pic]
((x1,x2,[pic]),(y1,y2, [pic]))[pic] x1.y1 + x2.y2 + x3.y3
Es una forma bilineal sobre [pic] y hacer la generalización para [pic].
Definición: una forma bilineal f: V*V[pic] es simetrica si f(x,y)= -f(y,x) [pic]
Ejemplo: la aplicación A: [pic] con A(x,y)= 3[pic] es una forma bilineal ya que:
A (y,x)=3[pic]
La aplicación [pic] definida por f (x, y)= [pic] verifica
f (y, x)= [pic]
Así que f es alterada o anti simétrico.
❖ Matriz asociada a una transformación bilineal y sus propiedades
Al igual que ocurre con las aplicaciones lineales, también podemos representar una forma bilineal definida sobre un espacio de dimensión finita por una matriz.
Seaf: V*V[pic] una forma bilineal, dimV= n, y B={[pic]una base de V.
Sea [pic] para todo i=1,……n con
[pic]
Se tiene
[pic]
[pic]
Definición: la matriz
[pic]
Se dice que es la matriz de la forma bilineal f: V*V[pic] en la base B= {[pic] de V. Si denotamos por A= ([pic]
Terminología
f se dice que es simétrica si su matriz A es...
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