Formulacion hamiltoniana

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5. Introducción a la Formulación Lagrangiana y Hamiltoniana
•  •  •  •  •  •  •  Introducción Definiciones: coordenadas, momentos y fuerzas generalizados. Función Lagrangiana y ecuaciones de Euler-Lagrange. Coordenadas cíclicas. Ejemplos. Movimiento con ligaduras. Ecuaciones de Euler-Lagrange en coordenadas generalizadas libres. Ejemplos. Obtención de las ligaduras: multiplicadores de Lagrange.Ejemplos. Función Hamiltoniana y ecuaciones de Hamilton o ecuaciones canónicas. Ejemplos . Principio de mínima acción o principio de Hamilton.

Bibliografía: [Marion], [Kibble], [Hand-Finch], [Rañada], [Goldstein]

Chantal Ferrer Roca 2008

5. Introducción a la Formulación Lagrangiana y Hamiltoniana
NOTA IMPORTANTE: Los contenidos de este documento representan un esquema de los conceptosfundamentales del tema, por lo que en ningún caso se trata de apuntes completos. Este esquema se complementa con explicaciones, razonamientos, ejemplos y problemas que se desarrollan durante las clases, así como con alguno(s) de los libros que se incluyen en la bibliografía.

Bibliografía: [Marion], [Kibble], [Hand-Finch], [Rañada], [Goldstein]

Chantal Ferrer Roca 2008

1. IntroducciónEcuaciones de Newton Ecuaciones de Newton de una partícula de masa m en 2D y en coordenadas cartesianas:
(1736-1813) “Mecanique Analitique”, 1788

Ecuaciones de Newton de una partícula de masa m en 2D y en coordenadas polares:

No tienen la misma forma
Sin embargo, los principios subyacentes son los mismos: ¿por qué no un formalismo más general que lo haga explícito?

MECÁNICA LAGRANGIANA:Mismos Principios (Galileo, Newton), distinta formulación, más sofisticada: •  Se prescinde de las fuerzas que actúan sobre las diferentes partes del sistema. •  Se prescinde de aquellas ecuaciones que sólo se refieren a las fuerzas de ligadura (tensiones, reacciones etc..) e involucra sólo las fuerzas que dan lugar al movimiento (Fuerzas activas) •  Se define una función escalar: Lagrangiana, de laque se obtienen las ecuaciones diferenciales del movimiento, tantas como variables físicamente significativas. •  Esto permite escribir las ecuaciones de forma generalizada de manera que formalmente sean iguales. Chantal Ferrer Roca 2008

2. Definiciones: coordenadas generalizadas
Sistema de N partículas que se mueven en 3 dimensiones:
3N coordenadas cartesianas 3N coordenadas generalizadasGrados de libertad del sistema (las ligaduras los pueden reducir)

sistema

N

(distancias, ángulos, etc.)

3N ecuaciones de transformación

Relaciones importantes

[1] [2]

(“REGLA” DE SUPRESIÓN DE PUNTOS)

[3]
Chantal Ferrer Roca 2008

2. Definiciones: momentos generalizados
Energía cinética de un sistema en coordenadas cartesianas

Chantal Ferrer Roca 2008

Momentoscartesianos
Ejemplo: energía cinética de una sistema de dos masas
puntuales que se mueven por el eje z

Momentos generalizados
Ejemplo: energía cinética de un sistema de dos masas
puntuales que se mueven sobre una circunferencia de radio a

Componente z del momento lineal de la partícula 2

como la variable es un ángulo, el momento generalizado es un momento angular

Relación con losmomentos cartesianos:

[3]

2. Definiciones: momentos generalizados

EJEMPLO 1 Escribir los momentos generalizados y correspondientes al movimiento de una partícula cuyo momento lineal es (p,0,0), con p constante.

hρ =1, luego tiene dimensiones de momento lineal (en dirección ρ). Es el “momento conjugado” de la coordenada generalizada ρ y coincide con la proyección p sobre la dirección ρhφ =ρ, Luego el momento generalizado no es simplemente la proyección de p sobre la dirección φ. El momento generalizado πφ tiene dimensiones de momento angular. Es el “momento conjugado” correspondiente a la coordenada φ. (lo que habitualmente llamaríamos ℓz )

Chantal Ferrer Roca 2008

2. Definiciones: fuerzas generalizadas
Fuerzas conservativas en coordenadas cartesianas en coordenadas...