Foro 3-4

Revista del Profesor de Matemática

L A E C U A C I Ó N C Ú B I C A , S U H I S T O RI A Y S O L U C I Ó N
Instituto de Matemática y Física Universidad de Talca

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Juan Pablo Prieto

Siglo XVI. El despertar del ´lgebra a La soluci´n de ecuaciones ha sido hist´ricamente una de las fuentes o o m´s fruct´ a ıferas de creaci´n matem´tica. Las ecuaciones cuadr´ticas o a a aparecen yaen la antig¨edad (Babilonia, 2000 AC) y la soluci´n de u o la ecuaci´n general, aun cuando aparece en distintas formas en el o tratado Elementos de Euclides mediante argumentos geom´tricos, es e obtenida algebraicamente por el matem´tico ´rabe al-Khowarizmi (c. a a 780- 850). a En Europa la matem´tica entra en un profundo estancamiento durante la Edad Media, la unica actividad se desarrollaba en elle´ jano oriente y fundamentalmente en el mundo ´rabe, donde se hizo a un importante trabajo de recopilaci´n y traducci´n de los tratados o o griegos cl´sicos. a El Renacimiento es una era de gran expansi´n art´ o ıstica e intelectual, pero la matem´tica tuvo poco desarrollo. Lo unico notable de a ´ este per´ ıodo (fines del renacimiento) es el desarrollo del ´lgebra en a la Escuela Italiana,espec´ ıficamente los trabajos de Fibonacci y el trabajo sobre la ecuaci´n c´bica que aqu´ tratamos. o u ı

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Los actores

La ecuación cúbica, su historia y solución

• Nicolo Tartaglia (1500-1557) Naci´ en Brescia, en el norte de Italia. Debido a su pobreza, o no pudo acceder a estudios formales, pero en base a esfuerzo y estudio personal y gracias a su capacidad logr´ un gran doo miniode la matem´tica, lo que le permiti´ acceder a puestos de a o profesor en Verona y Venecia. En 1530 un amigo le envi´ dos o problemas: – Encontrar un n´mero cuyo cubo sumado a tres veces su u cuadrado es 5, es decir resolver la ecuaci´n: x3 + 3x2 = 5 o – Encontrar tres n´meros, el segundo de ellos supera al primero u en 2, el tercero supera al segundo tambi´n en 2, y cuyo proe ducto es 100, esdecir, resolver la ecuaci´n: x(x + 2)(x + o 4) = 100 . En 1535 Tartaglia pudo finalmente resolver estos problemas, y anunci´ que pod´ resolver cualquier ecuaci´n del tipo: x3 + o ıa o 2 = q . Otro matem´tico, Fiore, no creyendo esta afirmaci´n, px a o lo desafi´ a una competencia p´blica de resoluci´n de probo u o lemas (algo muy com´n en esa ´poca y que permit´ que los u e ıa matem´ticos exitososescalaran posiciones en las universidades). a Debido a este desaf´ Tartaglia trabaj´ arduamente para enıo, o contrar la soluci´n general de la ecuaci´n c´bica. Un poco o o u antes de la competencia, Tartaglia desarroll´ un esquema para o resolver todas las ecuaciones c´bicas que no tengan el t´rmino u e cuadr´tico. Despu´s de dos horas de competencia, Tartaglia a e hab´ reducido los 30 problemas que sele propusieron a caıa sos particulares de la ecuaci´n x3 + px = q , para las cuales ´l o e conoc´ la soluci´n. Sin embargo, de los problemas que ´l proıa o e puso a su oponente, ´ste no hab´ logrado solucionar ninguno. e ıa

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• Girolamo Cardano (1501-1576)

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La vida de Cardano fue deplorable, aun para los est´ndares de a la ´poca. Ejecutaron a unode sus hijos por envenenar a su e esposa, ´l personalmente tuvo que cortarle la oreja a otro de e sus hijos por la misma raz´n; fue encarcelado por herej´ por o ıa haber publicado el hor´scopo de Cristo; y en general divid´ su o ıa vida entre el estudio intensivo y un gran libertinaje. Pero aun as´ en su rango de intereses, Cardano fue un verdadero “homı, bre del renacimiento”: m´dico, fil´sofo,matem´tico, astr´logo, e o a o aficionado al ocultismo y escritor prol´ ıfico. Despu´s de una jue ventud dedicada a las apuestas, Cardano comenz´ sus estudios o en la Universidad de Pavia y los complet´ en la Universidad de o Padua en 1525, con un doctorado en medicina (a la edad de 50 a˜os, Cardano era considerado uno de los dos m´dicos m´s n e a prominentes de Europa). Cuando Cardano supo de la...