Fracciones parciales

uaiProfr. Joel A. García Vargas Facultad de Ingeniería Grupo 02

Ecuaciones Diferenciales Semestre escolar 2012-2

FRACCIONES PARCIALES PARTE 1 Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples. Hay cuatro casos: 1) Descomposición en fracciones parciales en la cual cada término del denominador es lineal ydiferente. 2) Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido. 3) Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible. 4) Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido. Procedimiento para: Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal diferente. Paso 1: Siempre es conveniente observar si el grado de lafunción del numerador es menor que la del denominador. Si es mayor se debe realizar una división larga para reducir el grado de la función del numerador. Paso 2: Se debe factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales, px +q, ó factores cuadráticos irreductibles, ax 2  bx  c , y agrupar los factores repetidos para que la función del denominador sea un m producto de factoresdiferentes de la forma  px  q  , donde m  1 ó

ax

2

 bx  c



n

los números m y n no pueden ser negativos.

Paso 3: Para la descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal ó es de fracciones parciales con un factor lineal repetido.

A B + +... primer factor segundo factor
Ejemplo 1: expresión: Determinar la descomposición en fraccionesparciales de la

4 x 2 +13 x - 9 x3 + 2 x 2 - 3 x

Primero: Se puede observar que el numerador es un polinomio de grado 2 y el denominador es de grado 3, por lo tanto no es necesario hacer una división larga. Segundo: Factorizar el denominador (encontrar sus raíces)

x 3 +2 x 2 - 3 x = x  x 2 +2 x - 3 = x  x + 3  x - 1
Tercero: Colocar cada factor obtenido de la siguiente forma:

4 x 2 +13 x - 9 A B C = + + 3 2 x +2x -3x x x+3 x-1
Obtener el mínimo común denominador, manejarlo e igualarlo al numerador.

4x 2 + 13 x - 9 = A  x + 3  x - 1 + B  x   x - 1 + C  x   x + 3
En términos generales debe usarse la condición de igualdad de polinomios (dos polinomios son iguales si son del mismo grado y lo son coeficiente a coeficiente). Dependiendo de las particularidades ytipo de las raíces del denominador, el sistema de ecuaciones que resulta en general, puede resolverse por matrices ó por el método que más nos convenga: Desarrollando los paréntesis, se tiene que:

4 x 2 + 13 x - 9 = A  x 2 + 2 x - 3 + B  x 2 - x  + C  x 2 + 3 x 
Ahora se forma la primera ecuación con los términos al cuadrado así:

4x 2 +13x-9 =A  x 2 +2x-3 +B  x 2 -x  +C  x 2 +3x 4x 2 +13x-9 =  Ax 2 +2Ax-3A  +  Bx 2 -Bx  +  Cx 2 +3Cx  4x 2 +13x-9 = A x 2 +2A x-3A+B x 2 -B x+C x 2 +3 C x 4x 2 +13x-9 = A x 2 +B x 2 +C x 2 +2A x-B x+3 C x-3A 4 x 2 + 13 x - 9 = x 2  A + B + C  + x  2A - B + 3 C  - 3A
Ordenar términos Factorizar Desarrollar los paréntesis

Las tres ecuaciones que resultan son: + 1A + 1 B + 1 C = 4 2A -1B +3 C = +13 - 9 = - 3A De la tercera ecuaciónse encuentra el valor de A:

- 9 = - 3 A;

A=3

Sustituyendo A en las otras dos ecuaciones, resulta que:

+ 1A + 1 B + 1 C = 4

 31 + B + C = 4
3+B+C=4 B+C=4-3; B+C=1 2 A - 1 B + 3 C = + 13

 2   3 - B + 3 C = 13
6 - B + 3 C = 13 - B + 3 C = 13 - 6, -B+3C=7

Resolviendo las dos ecuaciones en las que aparecen B y C, se obtienen sus valores; es decir:

B+ C=1 -B+3C=7 4C=8C=2

B+C=1 B+2= 1 B = 1 - 2; B=-1

Escribiendo los coeficientes en la fracción parcial, resulta que:

4 x 2 + 13 x - 9 A B C 3 1 2 = + + = + 3 2 x +2x -3x x x+3 x-1 x x+3 x-1
Que es una expresión mucho más simple que la original y es más fácil de trabajar con la parte derecha de la igualdad. Hay otro sistema que se puede usar únicamente cuando los términos son lineales y no repetidos que...