Función inversa

1-. FUNCIONES INVERSAS y sus grÁficas.
Una función es inversa de otra función cuando sus respectivas gráficas son inversas, es decir, son simétricas respecto de la bisectriz del 1.er y 3.er cuadrantes

Cuando observamos las gráficas de dos funciones simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes, vemos que corresponden a dos funciones inversas. La función exponencial y lafunción logarítmica son inversas una respecto de la otra.



Gráfica de la función inversa.
Una gráfica es inversa de otra cuando ambas son simétricas respecto de la bisectriz del 1.er y 3.er cuadrantes. La ecuación de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes es y = x.

Ejemplo de una función f y de su recíproca g, donde los respectivos dominios de definición son I = [ -6; 6 ] y J =[ -6 ; 2.]

* Las gráficas que representan f y g son simétricas con relación a la primera diagonal, es decir, la recta Δ: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M´(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M´ pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes.

* Lastangentes en M y M´ tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g'(y)· f '(x) = 1.

2-. Derivadas de las funciones inversas y sus teoremas.
La inversa de una función es una función que, en cierta manera, "deshace" el efecto de . La inversa de se denota cómo . Las expresiones y son equivalentes.

Sus respectivasderivadas, asumiendo que existen, son recíprocas, tal y como se deduce a partir de la notación de Leibniz:

Eso es una consecuencia directa de la regla de la cadena, ya que

y la derivada de respecto es 1.
Escribiendo explícitamente la dependencia de respecto y el punto dónde se calcula la derivada y usando la notación de Lagrange, la fórmula de la derivada de la inversa esGeométricamente, una función y su inversa tienen gráficas que son reflexiones respecto la línea . Esta reflexión transforma el gradiente de cualquier línea en su recíproco.

Asumiendo que tiene inverso en un entorno de y que su derivada en este punto es distinta de cero, su inversa será diferenciable en y que su derivada viene dada por la expresión anterior.
* |
Ejemplos:

* (para valorespositivos de ) tiene inverso .

Teorema de la función inversa.
El teorema de la función inversa proporciona las condiciones suficientes para que una aplicación sea invertible localmente en un entorno de un punto p en términos de su derivada en dicho punto. Técnicamente es un teorema de existencia local de la función inversa. El teorema puede enunciarse para aplicaciones en Rn o se puedegeneralizar a variedades diferenciables o espacios de Banach.
Enunciado del Teorema.
La versión en del teorema es la siguiente: Seauna función continuamente diferenciable. Supongamos que para , la diferencial es invertible y que . Entonces existen abiertos tales que , y es una función biyectiva por lo que la inversa de es continuamente diferenciable y por lo tanto .

Existe una versión del teorema enespacios de Banach, que es una generalización de lo anterior. Sin embargo, la versión presentada es la que se presenta frecuentemente en la literatura puesto que su comprensión es más fácil. La demostración del teorema no es sencilla, puede consultarse en las referencias puesto que entre se requiere aplicar el teorema del punto fijo de Banach y la norma matricial además de otros resultados delanálisis matemático que se obtienen de la caracterización de la convexidad.

Ejemplo:

Consideremos la función F de R2 en R2 definida por

Su matriz jacobiana es

y su determinante

Como el determinante e2x es no nulo en todo punto, aplicando el teorema, para cada punto p de R2, existe un entorno de p en que F es invertible.

3-. Integradas de las funciones inversas.
Es un concepto...