Funcion devarias variables

C URSO DE A NÁLISIS C OMPLEJO

Francisco Javier Pérez González
Departamento de Análisis Matemático Universidad de Granada junio 2004

Índice general

1. Números complejos. Funciones complejas elementales 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. El cuerpo C de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1.Forma binómica de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Representación gráfica. Complejo conjugado y módulo . . . . . . . . 1.2.3. Forma polar de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.1. Observaciones sobre la definición del argumento principal 1.2.3.2. Fórmula de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 3 5 7 9 9

1.2.4. Raíces deun número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3. Topología del plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.1. Sucesiones de números complejos . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 21 1.3.2. Series de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4. Funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
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Índice general

II1.4.1. Continuidad y límite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.4.2. Derivada de una función compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4.2.1. Casos Particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4.3. Ecuaciones de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4.4. Primeras propiedades de las funciones holomorfas . . . . . . . . .. 36 1.4.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.4.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.5. Sucesiones y series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.5.1. Sucesiones de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.5.2. Series de funciones . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.5.3. Series de potencias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.5.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.5.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.6. Funciones complejas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 1.6.1. Exponencial compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.6.1.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.6.2. Logaritmos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.6.3. Potencias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.6.4. Funciones trigonométricas complejas . . . . . . . . .. . . . . . . . . 64 1.6.4.1. Seno y coseno complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.6.4.2. Tangente compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1.6.5. Funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1.6.5.1. Arcocoseno complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1.6.5.2. Arcoseno complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 68 1.6.5.3. Arcotangente compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 1.6.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 1.6.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2. Teoría de Cauchy Elemental 75

Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

Prof. Javier Pérez Curso de variable...