funcion logaritmo exponencial

Función Logaritmo y exponencial
Función logaritmo natural
En términos matemáticos la función logaritmo natural es una herramienta de mayor utilidad que el logaritmo del álgebra elemental, el cual está definido en términos de exponentes: es un número n tal que , donde b es llamada la base. La potencia. La potencia bn está definida, sin embargo, solamente para valores racionales de n; sugráfica entonces está llena de agujeros y no es derivable ni integrable.
Por otro lado, la función logaritmo natural, además de tener las mismas propiedades del logaritmo elemental, es diferenciable e integrable, ya que en su intervalo de definición (0,∞), es continua y está representada por una sola regla de correspondencia.
Definición
La función logaritmo natural denotada como ln se define dela siguiente forma.


Características de la función ln
Dominio (0, ∞)
Rango (- ∞, ∞)
Biyectiva
Su derivada
Su función inversa


Teorema
Si a y b son números positivos, entonces


Propiedades de la función logaritmo natural
Si a y b son números positivos y r cualquier número, entonces.
1.
2.
3.
4.
Derivada de la función logaritmo natural

Si u=u(x) es una funciónderivable, entonces;

Si u=u(x) y v=v(x) son funciones derivables, entonces

Ejemplo
Obtener las siguientes derivadas de las siguientes funciones
a)
b)
c)
d)

Derivación logarítmica
En ocasiones una función, tiene una expresión algebraica muy complicada, Para obtener la derivada de dicha función, podemos utilizar un método indirecto, el cual llamaremos derivación logarítmica, lacual consiste en aplicar el logaritmo natural a la función, utilizando propiedades de los logaritmos y derivar en forma implícita de la siguiente forma.





Ejemplo

Se obtiene logaritmo natural de ambos lados

Se aplican todas las propiedades de los logaritmos

Se obtiene la derivada de ambos lados


`Finalmente


Ejercicios
Obtener las derivadas de las siguientes funciones1)
2)
3)
4)
5)
6)
La integral de una función logaritmo natural

Ejercicios
a)
b)
c)
d)
Función exponencial natural
Teorema
Si f(x)= ln x y g es la inversa de f, entonces g(x)=ex

Definición

La función , inversa de f(x)=ln x, es la función exponencial natural o, simplemente, la función exponencial.

Corolario

1.
2.
3.
Propiedades




Limites de lafunción exponencial


1.
2.




Derivada de la función exponencial

Si u=u(x) es una función diferenciable, entonces

Encuentre la derivada de f(x) en cada uno de los siguientes funciones






La integral de una función exponencial


Realizar las siguientes integrales








Función exponencial base a
Si a es número positivo y x es un número real, entoncesDefine a la función exponencial de base a.


Teorema


Derivación e Integración de una función elevada a otra función
Podemos partir de





Teorema
Si a es un número positivo, entonces
Teorema
Si a es un número positivo y u=u(x) es una función diferenciable, entonces.

Teorema
Si a es un número positivo distinto de 1, entonces

Ejercicio
Obtener las derivadas delas siguientes funciones



Calcular las siguientes integrales



Definición
Si a es un número positivo distinto de 1, la inversa de f(x)=ax, denotada como loga, se llama la función logaritmo de base a y se defines así.


Cambio de base

Teorema

Teorema


Calcular las siguientes derivadas







Funciones Hiperbólicas
Hay funciones definidas mediante la suma o ladiferencia de funciones exponenciales, las cuales se aplican frecuentemente, por lo que se les ha dado un nombre.
Definición
Las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico denotadas como senh y cosh se definen como sigue:





Tangente hiperbólica


Cotangente hiperbólica


Secante hiperbólica

Cosecante hiperbólica

Verificar las siguientes identidades
a)
b)
c)
d)...