Funciones continuas y discontinuas

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Funciones continuas y discontinuas

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo, es decir, si no presenta puntos de discontinuidad.

Una función es discontinua si tiene puntos en los cuales una pequeña variación de la variable independiente produce un salto en los valores de la variable dependiente. A estos puntos se les denomina puntos de discontinuidad.

Lospuntos de discontinuidad pueden ser de dos tipos:
Puntos en los que la función no está definida, es decir, los puntos que no pertenecen al dominio de la función, gráfica a.
Puntos en los que la gráfica presenta un salto, gráfica b.
En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de lafunción. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.

La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.
Informalmente hablando, una función f definidasobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha.

El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe.

Elintervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I). Notar que en general, no es igual que el codominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.)

El mayor elemento de J' se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.
Una función esestrictamente creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia arriba:

Una función es estrictamente creciente en el punto de abcisa si existe algun número positivo tal que es estrictamente creciente en elintervalo .

De esta esta definición se deduce que si es derivable en y es estrictamente creciente en el punto de abcisa , entonces .

[editar] Función creciente en un intervalo

Una función es creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

[editar] Función estrictamente decreciente en un intervalo

Unafunción es estrictamente decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia abajo:

Una función es estrictamente decreciente en el punto de abcisa si existe algun número positivo tal que esestrictamente decreciente en el intervalo .

De esta esta definición se deduce que si es derivable en y es estrictamente decreciente en el punto de abcisa , entonces .

[editar] Función decreciente en un intervalo

Una función es decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Función Creciente:

Unafunción es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que

f( x1 ) < f( x2 ).

Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).

Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y ( x2, f(x2) ) con
x1
<
x2
Se tiene que
f(x1)
<
f(x2)....
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