Funciones de dos variables.

C´lculo Matem´tico. (Tema 10) Hoja
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Escuela Universitaria de Arquitectura T´cnica
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C´lculo Matem´tico.
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Tema 10: Funciones de dos variables.

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Curso 2008-09

Funci´n real de dos variables reales
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Hasta el momento hemos estudiado funciones de una sola variable independiente. Sin embargo en la mayor´
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de los problemas comunes, las funciones que comparecendependen de dos o m´s variables independientes. Por
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ejemplo el volumen de un cilindro circular, V (r, h) = πr2 h, depende de dos variables, el radio de la base r y la
altura h. En esta secci´n estudiaremos este tipo de funciones, para las que usaremos una notaci´n similar a la
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de las funciones de una sola variable
Definici´n.- Sea D un conjunto de pares ordenados de n´meros reales. Si acada par ordenado (x, y) ∈ D le
o
u
corresponde un unico n´mero real f (x, y), entonces se dice que f es una funci´n de x e y. El conjunto D es
´
u
o
el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores f (x, y) es el rango o recorrido de f .
En la funci´n dada por z = f (x, y), x e y son las variables independientes y z es la variable depeno
diente.
Pueden darse definicionessimilares para funciones de tres, cuatro o n variables, donde los dominios consistir´ en conjuntos formados por ternas ordenadas (x, y, z), cuaternas ordenadas (x, y, z, t) o n-uplas ordenadas
ıan
(x1 , x2 , ....., xn ), respectivamente.
Ejemplos: Hallar el dominio de cada funci´n.
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a) f (x, y) =

x2 + y 2 − 9
x

b) g(x, y, z) =

x
9−

x2

− y2 − z2

a) La funci´n est´ definida paratodos los pares (x, y) tales que x = 0 y x2 + y 2 ≥ 9. Por tanto el dominio
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de f est´ constituido por los puntos del plano que est´n sobre la circunferencia x2 + y 2 = 9 o bien fuera
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de ´sta, exceptuando los puntos del eje OY .
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b) En este caso la funci´n est´ definida para los puntos del espacio que verifican que x2 + y 2 + z 2 < 9. Luego
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el dominio de g lo constituyen lospuntos interiores a la esfera de radio 3 y centro el origen de coordenadas.
Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma manera que las de una variable.
(f ± g)(x, y) = f (x, y) ± g(x, y)
(f g)(x, y) = f (x, y)g(x, y)
(λf )(x, y) = λf (x, y)
f
f (x, y)
(x, y) =
g
g(x, y)

(Suma o diferencia)
(Producto)

(Producto por un escalar)
g(x, y) = 0

(Cociente)

De formaan´loga se pueden combinar funciones de tres o m´s variables.
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El dominio de las funciones resultantes es la intersecci´n de los dominios de las funciones que intervienen en
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la operaci´n.
o
Una funci´n que puede expresarse como suma de funciones de la forma cxn y m , donde c es un n´mero real
o
u
y m y n son n´meros naturales, se denomina funci´n polin´mica de dos variables. Porejemplo
u
o
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f (x, y) = 2x2 y 3 + x3 − 3xy 2 + 2. Una funci´n racional es el cociente de dos funciones polin´micas. La misma
o
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terminolog´ se emplea para funciones de m´s variables.
ıa
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La gr´fica de una funci´n de dos variables f est´ constituida por las ternas (x, y, z), tales que z = f (x, y) y
a
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(x, y) pertenecen al dominiode f . Esta gr´fica puede interpretarse geom´tricamente como una superficie en el
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espacio, la cual nos da una idea visual del comportamiento de la propia funci´n f . No siempre, en realidad casi
o
nunca, es f´cil representar la gr´fica de una funci´n de dos variables. Una segunda manera de visualizar una
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funci´n de dos variables es a trav´s de las curvas de nivel, que son aquellascurvas contenidas en el dominio
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de la funci´n y constituidas por los puntos donde la funci´n toma el mismo valor, es decir {(x, y) : f (x, y) = c}
o
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con c variando en R. Dos ejemplos claros y cotidianos del concepto de curvas de nivel lo constituyen las isobaras
(igual presi´n atmosf´rica) en un mapa clim´tico y las l´
o
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ıneas de contorno (igual altura sobre el nivel del mar)...