Funciones Inversas

iones Función inversa
Artículo principal: Función recíproca
Dada una función , se llama una (función) inversa de , a una función  tal que se cumple las siguientes condiciones:
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Decimos también que la función f es invertible
Cuando existe una función inversa de f, se demuestra que esa función es única, por lo que se habla de la inversa y se la denota por .

Se verifica también lassiguientes propiedades.
* Una función tiene inversa si, y sólo si, es biyectiva.
* La función inversa de una función es invertible, y su inversa es la función original. O sea que (f − 1) − 1 = f.
* La composición de dos funciones invertibles es invertible, y su inversa es la composición de las inversas de los factores pero con el orden invertido.
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El grupo simétrico o grupo de las funcionesbiyectivas
Sea A un conjunto no vacío y Biy(A) el conjunto formado por todas las funciones biyectivas de A en sí mismo. El conjunto Biy(A) no es vacío, porque al menos la función identidad está en ese conjunto. Además, recordando que las funciones biyectivas coinciden con las funciones invertibles, tenemos que la composición de funciones define una operación algebraica en Biy(A). Se verifica que1. La composición es una operación asociativa, es decir, dadas tres funciones cualesquiera se cumple que 
2. La función identidad es un neutro respecto a la operación. O sea, , tenemos que .
3. Cada elemento f de Biy(A) tiene un inverso respecto a la operación: la función inversa de f. O sea que .
Estas tres condiciones determinan lo que se llama un grupo. Por lo que el conjunto delas funciones biyectivas , Biy(A) es un grupo con respecto a la operación de composición de funciones que recibe el nombre de grupo simétrico de .
Cuando A es un conjunto finito, digamos con n elementos, las biyecciones de A se llaman también permutaciones, por lo que el grupo simétríco de A se llama también grupo de permutaciones.
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Terminología,tradición y convenios
La noción de función es fundamental en matemáticas. la noción ha evolucionado desde su introducción en el siglo XVII hasta el presente, al igual que muchas otras de las nociones de matemáticas. Una de las fuentes de la noción es el estudio del movimiento cinemática, de donde hemos heredado terminologías tales como constante, variable y parámetro.
Sea  una función. Lanotación y definición dadas son posteriores a la invención de la teoría de conjuntos, o sea posterior a los finales del siglo XIX. ¿Cómo se decía anteriormente que x era un elemento de ? Diciendo que x era una variable real. Por extensión del concepto, se llamaba variables tanto a los elementos del dominio como aquellos del codominio; para distinguir entre ellos, los elementos del dominio eran lasvariables independientes mientras que aquellos del codominio eran las variables dependientes.
Por esa razón, funciones cuyo dominio sea un subconjunto de los Reales se denominan funciones de una variable real. ¿Por que "una"? Porque funciones cuyo dominio eran subconjuntos de  o  se llamaban funciones de dos o tres variables (reales) respectivamente. Actualmente, preferimos decir que se trata defunciones definidas sobre pares o tríos de números (usualmente considerados como vectores bidimensionales o tridimensionales, respectivamente).
En algunos contextos, la terminología está adaptada al tema de estudio, por ejemplo, en Física es usual la siguiente terminología.
* Función escalar: Función del tipo 
* Campo escalar: Función del tipo 
* Función vectorial: Función del tipo 
*Campo vectorial: Función del tipo 
La notación funcional
En muchos campos aplicados, inclusive a veces en textos de matemáticas, se encuentra la expresión "la función f(x)". De acuerdo a nuestra definición actual, lo anterior no hace sentido, ya que f(x) es una notación para el elemento del codominio. Otras veces, nos encontramos con algo así como "la función f(x) = x^2 - 3x + 7". Aunque aquí...