Funciones trigonometricas

Matemáticas I
Unidad 4 - Trigonometría
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA
DE EL SALVADOR


Contenido

Introducción 3
Objetivos 4
Ángulos y sus medidas 5
Teorema de Pitágoras 9
Circulo trigonométrico 12
Graficas de funciones trigonométricas Seno y Coseno 16
Identidades Trigonométricas 18
Ley del Seno y del Coseno 19
Bibliografía 20

Introducción

La trigonometría es una rama delas matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto la trigonometría se vale del estudio de las funciones o razones trigonométricas las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.

En el siguiente informe se tocaran conceptos y características de todos los elementos de la trigonometría, comenzando desde los ángulos hasta finalizarpor los teoremas del seno y coseno.

Objetivos

* Conocer y calcular las razones trigonométricas de los ángulos principales.
* Calcular las razones Trigonométricas para cualquier ángulo.
* Graficar las distintas funciones trigonométricas (seno y coseno).
* Conocer las identidades trigonométricas.
* Conocer la ley de los senos y cósenos.

Ángulos y sus medidas

Definicióny notación

Angulo es una abertura formada por dos semirrectas L1 y L2 que tienen un origen en común O. (ver Ilustración 1). L1 y L2 se llaman “lados del ángulo” y el punto O se llama “Vértice”.

En trigonometría es conveniente considerar que un ángulo se genera por la rotación del “lado inicial” L1 en un plano, alrededor del vértice O, hasta alcanzar una posición final correspondiente al“Lado terminal” L2.

Dicha rotación se indica por medio de una flecha en forma de arco o espiral que apunta desde el lado inicial hacia el lado final. Es mas, tal rotación puede sobrepasar una o más vueltas, generando ángulos cada vez mayores.

Ilustración [ 1 ]

Ángulos en posición normal

Diremos que un ángulo esta en posición normal o estándar en un sistema de coordenadas rectangulares sicumple:

i. Su vértice esta en el origen de dicho sistema.
ii. Su lado inicial coincide con el eje x positivo.

Si el ángulo es “generado” por un giro en el sentido de las agujas del reloj, diremos que el ángulo es “negativo”; si el giro es en sentido anti horario, el ángulo es “positivo”. (ver Ilustración 2)

Si el lado terminal del ángulo se encuentra en cierto cuadrante diremos queel ángulo esta en ese cuadrante. Ejemplo el ángulo β se encuentra en el cuadrante III.

Ejemplos de ángulos en posición estándar

Ilustración [ 2 ]

Unidades de medida para ángulos

En este documento solo se hablara de tres unidades de medición angular:

a. La Revolución
b. El Grado
c. El Radian

Revolución: Una revolución es la medida del ángulo generado por unasemirrecta cuando gira una vuelta completa.

Grado: Un grado es la medida de un ángulo generado por una semirrecta que gira1360 de una revolución.

Según la definición 1º equivale a 1360 rev. ( 1º ≡ 1360 rev )
Luego 1 rev ≡ 360º, ½ rev ≡ 180º, ¼ rev ≡ 90º, etc.

Radian: Consideremos una circunferencia de radio r. Un radian es la medida del ángulo central subtendido por un arco circular de longitudr.

En la ilustración 3, la longitud S del arco circular AP es r, por l tanto, Ө = 1 rad. También en la ilustración S= 2r, por lo tanto, Ө = 2 rad.

Ilustración [ 3 ]

Completaremos de esta manera la relación de las tres unidades de medición angular:

360º ≡ 2п rad ≡ 1 rev ó 180º ≡ п rad ≡ 12 rev

Con lo cual se puede convertir una unidad de medición angular en otra.

Obtenemosradianes multiplicando la medida en grados por п180

Obtenemos grados multiplicando la medida en radianes por 180п

Ejemplos:

1. Expresemos los ángulos siguientes en radianes: 90º, -30º, 120

a. 90п180 = п2 rad
b. -30п180 = - п6 rad
c. 120 п180 = 2п3rad

Nota: Cuando se expresa un ángulo en radianes se suele dejar indicado п.

2. Expresar los siguientes ángulos en...