Fundamento

Introducción

El sistema de los números reales que ahora conocemos, fue obtenido después de muchas reflexiones por
parte del hombre.
Desde el comienzo de nuestra civilización, ya se conocían los números enteros positivos, o sea 1,2,3,…
Los números enteros tan grandes como 100,000 se utilizaban en Egipto en épocas tempranas, como es
300 A.C.
La aritmética que desarrollaron los antiguos Egipcios yBabilónicos con los números enteros positivos
mediante los cuales podían efectuarse las operaciones de adición y multiplicación, aunque la división no
se desarrollo por completo.
En estos dichos pueblos usaron ciertas fracciones, es decir que los números racionales también
aparecieron en una temprana etapa en nuestra civilización ( un número racional es cociente de dos
enteros )
Los que tuvieronmás éxito en el desarrollo de la aritmética y el algebra fueron los babilonios, ellos
tenían una notación para los números, muy superior al de los egipcios, esta notación, análoga a nuestro
sistema decimal, excepto por el hecho de que su base es 60 en lugar 10, una buena notación es el pre
requisito para el desarrollo de los matemáticos.
Nuestro sistema decimal de los números llamados análogos fuecreado por los Hindúes e introducido en
Europa occidental en el siglo XII mediante la traducción de textos Árabes. Sin embargo, esta notación
demoro demasiado en una aceptación generalizada, mucho mas tarde fue la aceptación de los números
negativos, que se prolongo hasta finales del siglo XVI se descartaba las raíces negativas de las ecuaciones.
En contradicción de la geometría que desarrollaronlos griegos solamente para su satisfacción intelectual
y en su modo del sistema lógico, con el desarrollo del cálculo. Ahora tenemos un sistema de axiomas que
describen completamente los números reales partiendo de estas axiomas podemos deducir todas las
propiedades de los números reales.

Definición
Llamaremos sistema de los números reales a un
conjunto R, provisto de dos operaciones adición
(+)y multiplicación (.) ( leyes de composición
interna), y una relación de orden denotado por
“<“ y el axioma del supremo, es decir:

1° ley de composición interna:
+R x R
R
(a, b)
+ (a, b)= a+b

Además debe cumplirse los axiomas siguientes:
Ao Cerradura: ∀ a, b
a + b  ∈ R
A1 Conmutativa:
a + b = b + a, ∀ a, b ∈ R
A2 Asociatividad:(a + b)+c = a+(b + c) ∀ a, b, c ∈ R
A3 Identidad aditiva: :(a + b)+c= a+(b + c) ∀ a, b, c ∈
0 ∈ R/a+0=0+a=a
A4 Opuesto Aditivo: ∀ a ∈ R, ∃ -a ∈ R, y es único,
tal que: a+ (-a)= (-a) +a =0

2°Ley de composición interna:
RxR
( a, b)

R
a, b

Además debe cumplirse los axiomas siguientes:
Mo Cerradura: ∀ a, b
a . b  ∈ R
M1 Conmutativa: a . b = b . a, ∀ a, b ∈ R
M2 Asociativa: (a . b).c = a.(b . c) ∀ a, b, c ∈
M3 Identidad Multiplicativa: ∀a ∈ R, ∃ 1  0,
1 ∈ R, talque : 1.a = a
M4 Inverso Multiplicativo: ∀a  0, ∃ a-1 ∈ R,
tal que: a. a-1 = a-1 .a= 1

3° Relación de Orden:
O1

O2
O3
O4

∀ a, b ∈ R una y solamente una de las
relaciones se cumple a < b, a = b, b < a
(ley de tricotomía)
Si a < b y b < c entonces a < c (transitiva)
Si a < b
a + c < b + c, ∀ a, b, c ∈ R.
Si a < b,
b > 0 entonces a.c < b.c

OBSERVACION:
i) A los números a y b los llamaremossumando, y al
número a+b suma de a y b.
ii) En a.b; a los números a y b los llamaremos factores y
al número a.b producto de a y b.
iii) El opuesto es único, así mismo el inverso es único.

Axioma de sustitución
Si a y b pertenecen a un conjunto B y si a = b,
entonces en toda relación se puede sustituir al
elemento a por el elemento b sin que altere el
significado de la relación.
Axiomas Distributivasa) a. (b + c) = a.b +a.c, ∀ a, b, c ∈ R distributiva
a la izquierda
b) (a + b).c = a.c + b.c, ∀ a, b, c ∈ R distributiva
a
la derecha

Teorema de igualdad para la adición
Si a = b entonces a + c = b + c, para todo a, b, c ∈ R
Demostración
1° a = b
por hipótesis.
2° a + c = a + c propiedad reflexiva.
3° a + c = b + c 1°, 2° y axioma 1. 3

Teorema de igualdad para la multiplicación
Si a = b...