Generacion de variables aleatorias

Generación de variables  aleatorias

20 de Febrero de 2007

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ÍNDICE
Definición de simulación. Generación de variables aleatorias: ✔ Generación de número aleatorios ✔ Método de la función inversa ✔ Otros métodos: ✔ Composición ✔ Convolución ✔ Transformaciones conocidas ✔ Generación de secuencias Comprobación de resultados Bibliografía 

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2DEFINICIÓN DE SIMULACIÓN
SIMULACIÓN:  "Experimentar  con  modelos  matemáticos  en  un  computador". Esquema general de la simulación: Experimentación/Medida Sistema Generación de  señales de entrada Análisis de  resultados Modelo matemático  del sistema Simulación Análisis de  resultados

En este curso cubriremos los tres aspectos Notar  que,  al  trabajar  en  computador,  siempre  trabajaremos  con secuencias discretas (muestras, en todo caso, de señales continuas)
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GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS
Muchos  modelos  de  sistemas  reales  contienen  elementos  que  precisan o admiten un modelado estadístico: ✔ Sistemas de comunicaciones: ruido, desvanecimiento, ... ✔ Sistemas  de  conmutación:  llegadas  de  usuarios  al  sistema,  duración de servicios, ... ✔Sistemas sensores: proceso de detección, proceso de medida, ... ✔ ... Modelado toma forma definiendo: ✔ Variables  aleatorias  que  rigen  ciertos  comportamientos  del  sistema ✔ Procesos  estocásticos  para  modelar  variación  de  entradas  en  el  tiempo. Se  deben  definir  métodos  para  generar  muestras  de  variables  aleatorias y muestras de procesos estocásticos.
20 de Febrero de 2007 4GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS (II)

Esquema general de generación de variables aleatorias y muestras  de procesos estocásticos: Generación de  números  pseudoaleatorios {Ui} Transformación  X=f(U) {xi}

{Ui}:  Conjunto  de  números  generados  en  el  computador,  que  siguen una distribución uniforme entre 0 y 1, independientes. {xi}: Conjunto de números que pueden verse como: ✔Muestras de una determinada variable aleatoria ✔ Muestras  de  un  proceso  estocástico  en  distintos  instantes  de  tiempo
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GENERACIÓN DE NUMEROS ALEATORIOS

Números  aleatorios:  los  que  generan  variables  aleatorias  con  distribución uniforme entre 0 y 1. Importante: Poder reproducir exactamente el mismo experimento: ✔ Detectar casos singulares ✔Comparar sistemas similares bajo condiciones idénticas. Objetivo:   ✔ U(0,1) ✔ Secuencia de números independientes linealmente: Incorrelados ✔ Secuencia reproducible a partir de pocos datos ✔ Coste computacional reducido

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GENERACIÓN DE NUMEROS ALEATORIOS (II)
Existen  varias  familias  de  métodos  de  generación  de  números  aleatorios. Aquí  explicaremos  el  funcionamiento de  los  más  usuales:  tipo  congruencial lineal. Fórmula: Genera una secuencia de enteros {zi} como: zi=(a zi­1 + c) mod m m es el módulo ✔ a es el multiplicador ✔ c es el incremento ✔ m>0 , m>a , m>c  El número aleatorio entre 0 y 1 se obtiene como: Ui=zi/m
✔

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GENERACIÓN DE NUMEROS ALEATORIOS (III)
Propiedades: ✔ Ecuación  recursiva:  con  un  valor  inicial (z )  se  define  la  o secuencia  completa.  A  este  valor  se  el  denomina  semilla  aleatoria.  ✔ Como  máximo  se  pueden  conseguir  m  números  aleatorios  distintos. ✔ Tiene comportamiento cíclico. Longitud del ciclo como máximo  m, depende de z0.  ✔ ¿Que pasa si z =0? Selección de z  puede ser importante. 0 0 ✔ No puede salir cualquier número, solo los de la forma z/m. ✔Dependencia fuertemente no lineal   Ejemplo: función rand de MATLAB 4: zi=(77 zi­1) mod(231­1)
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GENERACIÓN DE NUMEROS ALEATORIOS (IV)

Otros métodos, con carácter general, mantienen misma estructura:  ✔ Ecuación  recursivas,  reproducibles  a  partir  de  valor  inicial  seleccionable.  ✔ Dependencias no lineales => lineales implican correlación entre  muestras. ✔...