Geometria analitica en el espacio

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GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO

❖ VECTORES EN EL ESPACIO

← Vectores en el espacio:
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

[pic]

Componentes de un vector en el espacio: Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector son lascoordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Módulo de un vector: El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero. Puede calcularse de dos modos:

Calculando el módulo conociendo sus componentes. [pic]

Calculando el módulo conociendo las coordenadas delos puntos. [pic]

Distancia entre dos puntos: La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos. [pic]

Vector unitario: Un vector unitario tiene de módulo la unidad. La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.Suma de vectores: Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
[pic]
Propiedades de la suma de vectores:
1. Asociativa: [pic] + ([pic] + [pic] ) = ([pic] + [pic]) + [pic]

2. Conmutativa: [pic] + [pic] = [pic] + [pic]

3. Elemento neutro: [pic] + [pic] = [pic]

4. Elemento opuesto: [pic] + (− [pic]) = [pic]

Producto de un número real por un vector:El producto de un número real k por un vector es otro vector:
1. De igual dirección que el vector  [pic].
2. Del mismo sentido que el vector [pic] si k es positivo.
3. De sentido contrario del vector [pic] si k es negativo.
4. De módulo [pic]

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.
[pic]
Propiedades del producto deun número por un vector:
1. Asociativa: k · (k' · [pic] ) = (k · k') · [pic]
2. Distributiva respecto a la suma de vectores:
K · ( [pic] + [pic] ) = k · [pic] + k · [pic]
3. Distributiva respecto a los escalares: (k + k') · [pic] = k · [pic] + k' · [pic]
4. Elemento neutro: 1 · [pic] = [pic]

← Combinación lineal:
Una combinación lineal de dos o más vectoreses el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.
[pic]

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección. [pic] Esta combinación lineal es única.
[pic]

← Vectores linealmente dependientes:
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal deellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.
[pic]
Propiedades
1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

[pic]

[pic]

2. Dos vectores son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

3. Dos vectoreslibres [pic] = (u1, u2) y [pic] = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

[pic]

[pic] [pic]

← Vectores linealmente independientes:
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

[pic] a1 = a2 = ··· = an = 0Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.
[pic]
← Base:
Tres vectores [pic], [pic] y [pic] con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del espacio se puede poner como combinación lineal de ellos.
[pic]
Las coordenadas del vector respecto a la base son: [pic]
1. Base ortogonal: Una...
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