Geometria analitica

APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIDAD 1: CONCEPTOS BASICOS
PLANO EUCLIDIANO Cuando se introduce un sistema rectangular de coordenadas en el plano euclidiano se obtiene el plano cartesiano. En este modelo un punto se identifica con una pareja de números ordenada, que indican su posición con respecto a dos rectas llamadas ejes del sistema. Esto permite interrelacionar el álgebra con lageometría euclidiana. LOS EJES COORDENADOS Si se traza en un plano euclidiano dos rectas perpendiculares entre sí, una horizontal (x) y la otra vertical (y), este queda dividido en cuatro cuadrantes. A dichas rectas se las conoce como ejes coordenados, y a su intersección origen de coordenadas. Ambos ejes se conciben como rectas reales con el cero colocado en el origen y con la misma escala. Por convenciónlos valores positivos van hacia la derecha y hacia arriba, mientras que los valores negativos, hacia la izquierda y abajo.
y 7 6 5 4 3 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Si P es un punto del plano, para ubicarlo se da su ubicación por sus coordenadas de x e y, en forma de par ordenado de la siguiente manera: P (x,y) Si se quiere ubicar el punto P (3 ; -5)tendremos:
y 7 6 5 4 3 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Año 2009

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Profesor Julio Cesar BUCHAHLA

APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
Se ve que el punto P de coordenadas x = 3 e y = -5 se encuentra en el cuarto cuadrante. Observaciones: Cualquier punto de coordenadas Q (a;0) se encuentra sobre el eje x. Cualquier punto de coordenadas Q (0;b) seencuentra sobre el eje y. Todos los puntos que están sobre la recta vertical que pasa por (a,b) tienen abcisa “a” Todos los puntos que están sobre la recta horizontal que pasa por (a,b) tienen ordenada “b” COORDENADAS POLARES En las coordenadas polares, un punto en el plano queda definido por el par ordenado (r, ). Se toma un punto fijo O, denominado origen o polo y usando este como origen, trazamosun eje horizontal y hacia la derecha, llamado eje polar. Para cada pareja (r, ) consideramos la semirrecta de origen O, que forma un ángulo , con el eje polar, y sobre esta medimos r unidades a partir del origen. La relación entre el sistema de coordenadas rectangulares y polares es la siguiente:

La relación entre el sistema de coordenadas polares y rectangulares es la siguiente:

LONGITUD DEUN SEGMENTO (DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS) Como se observa en el gráfico, la distancia entre los puntos P(x1 , y1) y Q (x2 , y2) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos lo forman la variación de x y la variación de y. Aplicando el teorema de Pitágoras se tiene que: Todo número elevado a una potencia par siempre es positivo, por lo tanto: (1) Quedando: (2) Se verá un ejemplo: Dadoslos puntos P ( 2; 3) y Q (5 ; 7) la distancia que separa dichos puntos es: Aplicando la formula (2), la expresión reemplazada queda:

EJERCITACIÓN 1- Encuentre la longitud del segmento delimitado por los puntos P (-4 , 2) y Q (-3 ; -9) 2- Encuentre la longitud del segmento delimitado por los puntos P (4 , 2) y Q (-3 ; 9) 3- Encuentre la longitud del segmento delimitado por los puntos P (-4 , 2)y Q (3 ; -9) 4- Calcule las coordenadas del punto ubicado sobre el eje x que equidista de los puntos A (6 , 0) y B (4 , 2) 5- Calcule las coordenadas del punto P (x , y) que equidista de los puntos A (0 , 1) , B (-6 , 9) y C (2 , 5) 6- Demuestra que el triángulo cuyos vértices son A (2 , 5) ; B (4 , -1) y C (6 , 5) es isósceles.

Año 2009

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Profesor Julio Cesar BUCHAHLA

APUNTES DEGEOMETRÍA ANALÍTICA
Una aplicación importante de la distancia entre dos puntos es la definición de vector. El vector, visto en forma geométrica es un segmento dirigido. La dirección del vector está dada por la recta que pasa por los puntos P(x 1 , y1) y Q (x2 , y2), el sentido depende de qué punto se tome como origen y cual como extremo, ya que es distinto El módulo de dicho vector esta dado...