Geometria analitica

PARABOLA.
En matemática, la parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.1 Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unenpares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.
SEMEJANZA DE LA PARABOLA.
Todas las parábolas son semejantes, es únicamente la escala la que crea la apariencia de que tienen formas diferentes.
Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la única sección cónica que tiene excentricidad . La unicidad se refiere a que todas las parábolas sonsemejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala.
Desafortunadamente, al estudiar analíticamente las parábolas (basándose en ecuaciones), se suele afirmar erróneamente que los parámetros de la ecuación cambian la forma de la parábola, haciéndola más ancha o estrecha. La verdad es que todas las parábolas tienen la misma forma, pero la escala (zoom) crea la ilusión de que hay parábolas deformas diferentes.
Un argumento geométrico informal es que al ser la directriz una recta infinita, al tomar cualquier punto y efectuar la construcción descrita arriba, se obtiene siempre la misma curva, salvo su escala, que depende de la distancia del punto a la directriz.

ECUACIONES DE LA PARABOLA

Parábolas tipo y=ax2, con a=4, 1, 1/4 y 1/10.

Prueba geométrica de la relación y=ax2.
Con eladvenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.
Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas lasparábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».
Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio,2 y se bosquejará a continuación usandonotación moderna.
Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor y). Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.
Por el teorema de potencia de unpunto:
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Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así:
.
Usando nuevamente los paralelismos:
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Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en
.
Pero el valor de  es una constante pues no depende de la posición de V, por lo que haciendo

ECUACIÓN GENERAL DE UNA PARÁBOLA
Hasta ahora se han descrito parábolas con sus ejes paralelos a algunode los ejes de coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones de x ó de y. Pero una parábola puede tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales.
La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:si y sólo siy los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos |
RECTA
En geometría euclidiana,la recta o línea recta, se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.
Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del...