Geometria no euclideana

NIKOLÁI LOBACHEVSKI
(1793-1856)

Matemático ruso nacido cerca de Nizhni Novgorod y fallecido en Kazan. Su padre murió cuando él era muy pequeño y su educación recayó en manos de su madre. A la edad de 20 años consiguió un puesto en la universidad de Kazan. Escribió muchas obras sobre matemática, pero su fama fundamental fue como "hereje matemático". Durante veinte siglos Euclides y su sistemageométrico habían permanecido inalterables. Estaban completamente admitidos por los geómetras. Sin embargo había en Euclides una pequeña imperfección que adquiría forma en su quinto axioma, el de las rectas paralelas. Lovachevski dio un paso gigantesco al preguntarse si dicho axioma era completamente imprescindible para construir la geometría. Así desarrolló una nueva geometría, denominada noeuclideana, partiendo de que por un punto no contenido en una recta pueden trazarse al menos dos rectas paralelas a la recta dada. Publicó sus ideas en 1829. Junto a Lovachevski trabajaron en el desarrollo de estas nuevas geometrías no euclideanas, Bolyai, Gauss y Rieman. Tres cuartos de siglo después, Einstein pudo demostrar que la estructura del universo no era euclideana y que los conceptosteóricos propuestos por Lovachevski tenían una aplicación muy práctica. La recompensa obtenida por Lovachevski por su "herejía", fue el despido de su puesto de trabajo.

ALGUNOS TEOREMAS DE LA GEOMETRÍA DE LOBACHEVSKI

Teorema 1. La suma de los ángulos de cualquier triángulo e menor de 2d.
Examinemos primeramente e triángulo rectángulo ABC (figura 30). Sus lados a, b, c se exponen,respectivamente, en forma de un segmento de la perpendicular euclidiana a la recta u, de un arco de la circunferencia euclidiana con el centro M y de un arco de la circunferencia euclidiana con el centro N . El ángulo C es recto. El ángulo A es igual al ángulo entre las tangentes de las circunferencias b y c en el punto A o, lo que es lo mismo, al ángulo entre los radios NA y MA de estas circunferencias. Porúltimo, ∠ B = ∠ BNM.

Construyamos en el segmento BM, como en el diámetro, la circunferencia euclidiana q ; ésta tiene sólo un punto común B con la circunferencia c , pues su diámetro es el radio de dicha circunferencia. Por esto el punto A se encuentra fuera del círculo limitado por la circunferencia q y, por consiguiente,
∠ A = ∠ MAN < ∠ MBN.

De aquí, en virtud de la igualdad ∠ MBN + ∠ B= d, tenemos:
∠ A + ∠ B < d;

por eso ∠ A + ∠ B + ∠ C < 2 d , que es lo que se quería demostrar. Señalaremos que, con ayuda del correspondiente movimiento hiperbólico, cualquier triángulo rectángulo se puede situar de tal manera que uno de sus catetos pertenezca a la perpendicular euclidiana a la recta u; de esta manera, el método de deducción de la desigualdad que utilizamos esaplicable a cualquier triángulo rectángulo.
Si se trata de un triángulo oblicuángulo, se divide éste mediante una de sus alturas en dos triángulos rectángulos. La suma de los ángulos agudos de estos triángulos rectángulos es igual a la suma de los ángulos del triángulo oblicuángulo dado.
De aquí, tomando en consideración la desigualdad, se deduce que el teorema es válido para cualquier triángulo.Teorema 2. La suma de los ángulos del cuadrilátero es menor de 4d.
Para la demostración es suficiente dividir diagonalmente el cuadrilátero en dos triángulos.

Teorema 3. Dos rectas divergentes tienen una, y solamente una, perpendicular común.
Supongamos que una de las rectas divergentes dadas se expone en la carta τ en forma de la perpendicular euclidiana p a la recta u en el punto M , laotra se expone en forma de la semicircunferencia euclidiana q con el centro en u y, además, p y q no tienen puntos comunes (figura 31).

Semejante disposición de dos rectas hiperbólicas divergentes en la carta τ siempre puede ser alcanzada mediante el correspondiente movimiento hiperbólico.
Tracemos desde M la tangente euclidiana MM a q y, con el radio MN , describamos desde el centro M...