Geometria

GOBIERNO BOLIVARIANO DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL

UNEFA

NÚCLEO ZULIA
ASIGNATURA: Geometría Analítica PROF: Ing. Pierina Fonseca

GUÍA DE LECTURA N° 2.

Unidad N° 2

GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS

DEFINICIÓNDE LUGAR GEOMÉTRICO: Ó gráfica, de una ecuación de dos variables es una línea, recta o curva, que contiene todos los puntos, y sólo ellos, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación dada, f(x,y)=0. Antes de representar gráficamente el lugar geométrico que corresponde a una ecuación dada, es muy conveniente, para determinar su forma, conocer algunas propiedades del lugar en cuestión, como, porejemplo: Intersecciones con los ejes, Simetrías, Campo de Variación de las Variables, Asíntotas. Esto también se llama discutir o analizar la ecuación.
1.-) Intersección con los Ejes: Son las distancias desde el origen hasta los puntos en los que la línea del lugar corta a los ejes coordenados.
Para hallar la intersección con el eje X se hace y=0 en la ecuación dada y se despeja la variable“x”. Análogamente, para hallar la intersección con el eje Y, se hace x=0 y se despeja “y”.
Por ejemplo, en la ecuación y2+2x=16, para y=0, x=8; para x=0, [pic]. Por tanto, la abscisa del punto de intersección con el eje X es 8 y las ordenadas de las intersecciones con el eje Y son +4 y -4.
2.-) Simetrías: Dos puntos son simétricos con respecto a una recta si ésta es la mediatriz del segmentoque los une. Dos puntos son simétricos con respecto a otro punto, si éste es el punto medio del segmento que los une.

En consecuencia:
a) Si una ecuación no se altera al sustituir x por –x, su representación gráfica, o lugar geométrico, es simétrica con respecto al eje Y. A todo valor de “y” en esta ecuación, le corresponden dos valores iguales de “x” en valor absoluto pero designos contrarios. Ejemplo: x2-6y+12=0, es decir, [pic].
b) Si una ecuación no varía al sustituir y por –y, su representación gráfica, o lugar geométrico, es simétrica con respecto al eje X. A todo valor de “x” en esta ecuación, le corresponden dos valores numéricamente iguales de “y” en valor absoluto pero de signos contrarios. Ejemplo: y2-4x-7=0, es decir, [pic].
c) Si una ecuaciónno varía al sustituir x por –x e y por –y, su representación gráfica, o lugar geométrico, es simétrica con respecto al origen. Ejemplo: x3+x+y3=0

3.-) Campos de Variación: Ó extensión de una curva, se obtiene determinando los intervalos de variación para los cuales los valores de x e y son valores reales. Esto es útil por dos razones: (1) Da la localización general de la curva en el planocoordenado. (2) Indica si la curva es cerrada o si es de extensión indefinida.
Los intervalos para los cuales los valores de x e y son reales se determinan, simplemente, resolviendo la ecuación dada para y, en términos de x, para x en términos de y.
NOTA: Los valores de una de las variables para los cuales la otra se hace imaginaria, carecen de sentido.
Ejemplo: Sea la ecuacióny2=2x-36,o bien, [pic]. Si x es menor que 1.5, 2x-3 es negativo e y es imaginario. Por tanto, no se deben considerar los valores de x menores que 1.5 y, en consecuencia, la curva del lugar estará situada toda a la derecha de la recta x=1.5. Despejando x, x=1/2(y2+3). Como x es real para todos los valores de y, la curva del lugar se extiende hasta el infinito, aumentando “y” a medida que lo hace “x”desde el valor x=1.5.

4.-) Asíntotas: Si para una curva dada, existe una recta tal que, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se llama ASÍNTOTA de la curva.
Esta definición implica dos cosas: (1) una curva que tiene una asíntota no es cerrada o de extensión...