Geometria

Cuadriláteros

Capítulo 4

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Módulo 14 Paralelismo y perpendicularidad Módulo 15 Ángulos especiales Módulo 16 Propiedades de cuadriláteros Módulo 17 Rectas y puntos notables Autoevaluación Capítulo 4, módulos 14 al 17

En este capítulo se presenta quizás el postulado que más polémica ha causado –el 5º postulado de Euclides o postulado de las paralelas–, el cual ha creado la independenciade las geometrías y ha dado lugar a las geometrías no euclidianas. Si la paralela por el punto exterior de una recta es única, se tiene la geometría euclidiana; si no es única, entonces aparece la geometría de Lovachesky; y si no pasa ninguna, se origina la geometría rimaniana. Las paralelas cortadas por transversales permiten determinar las medidas de los ángulos formados y las de los polígonos,al aplicar la suma de los ángulos interiores de un triángulo. Al final del capítulo se analizan los puntos y rectas notables en el triángulo, así como las condiciones mínimas que debe cumplir un cuadrilátero para ser un paralelogramo. Se analizan los teoremas de la paralela y la base media en un triángulo y en un trapecio, respectivamente.

Geometría Euclidiana 155

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Paralelismo yperpendicularidad
Contenidos del módulo
14.1 Rectas perpendiculares 14.2 Rectas paralelas

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Objetivos del módulo
1. 2. 3. 4. Identificar rectas perpendiculares y rectas paralelas. Diferenciar rectas perpendiculares, paralelas y oblicuas. Relacionar rectas paralelas y perpendiculares. Aplicar la demostración por reducción al absurdo.

John Playfair (1748-1819). Matemático y geólogoescocés.

Preguntas básicas
1. ¿Qué es una recta perpendicular levantada por un punto de una recta? 2. ¿Cómo se levanta (traza) dicha perpendicular? (módulo 28, apartado 28.4) 3. ¿Qué es una perpendicular bajada a una recta desde un punto exterior a ella? 4. ¿Cómo se traza dicha recta? (módulo 28, apartado 28.4) 5. ¿Qué son rectas oblicuas? 6. ¿Cuál es la distancia de un punto a una recta? 7. ¿Quépropiedades tienen las rectas paralelas? 8. ¿Qué relación hay entre rectas paralelas y rectas perpendiculares? 9. ¿Qué dice el postulado de las paralelas? 10. ¿Cómo se traza una paralela a una recta? (módulo 28, apartado 28.4)

Introducción
En este módulo se demuestra la existencia y unicidad de las rectas perpendiculares (bajada – levantada) a una recta. Se muestra la existencia de la rectaparalela a otra recta por un punto exterior a ella, se enuncia el postulado de las paralelas (quinto postulado de Euclides), se da el concepto de recta oblicua y se define la distancia de un punto a una recta.

Vea el módulo 14 del programa de televisión Geometría Euclidiana

Geometría Euclidiana 157

Capítulo 4: Cuadriláteros

14.1 Rectas perpendiculares
En el capítulo 2 se había definido laperpendicularidad entre dos rectas. Veamos ahora algunas propiedades que son importantes porque tratan de existencia y unicidad. Para su demostración se aplicará la demostración indirecta o reducción al absurdo.

Teorema 14.1.1
En un plano dado, por un punto cualquiera de una recta dada puede pasar una y sólo una recta perpendicular a la recta dada (figura 14.1). Hipótesis: la recta m P unpunto de la recta m Tesis: a. Existe una recta ⊥ m que contiene a P (existencia) b. Hay una sola recta ⊥ m que pasa por P (unicidad)

Figura 14.1

a. Demostración de la existencia: sea R un punto de la recta m, diferente de P. Existe un punto S en el semiplano α, tal que RPS es recto (por el postulado de la construcción de ángulos); entonces la recta PS es perpendicular a la recta m. Como
←⎯ →PS = , entonces

⊥ m; se ha demostrado así que existe la recta.

b. Demostración de la unicidad: hay que demostrar que ción se hará por reducción al absurdo, así:

es única. La demostra-

Existe más de una recta que pasa por P y es perpendicular a m o bien no existe más de una recta que pasa por P y es perpendicular a m (ley del tercero excluido). Supongamos que hay otra recta t que...