geometria

MATEMÁTICAS BÁSICAS
Profesora: Jeanneth Galeano Peñaloza
Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá
Departamento de Matemáticas

27 de mayo de 2009

Parte I
Introducción a la geometría elemental

Nociones básicas
Las nociones de punto, línea y plano no serán definidas, pero
...

punto

l´
ınea

plano

Nociones básicas

La presentación tradicional de la geometríaeuclidiana se hace
en un formato axiomático. Un sistema de axiomas es aquel
que, a partir de un cierto número de postulados que se
presumen verdaderos (conocidos como axiomas) y a través de
operaciones lógicas, genera nuevos postulados cuyo valor de
verdad es también positivo.

Cinco postulados de Euclides

1

Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta
que los une.

2Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua
en cualquier sentido.

3

Se puede trazar una circunferencia con centro en
cualquier punto y de cualquier radio.

4

Todos los ángulos rectos son iguales.

5

Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela.

Nociones básicas

Una línea, un segmento y un rayo...

Ángulos

Definición
Un ángulo es la unión de dos rayosque tienen un punto
extremo común. Cada uno de los rayos se llama lado del
ángulo, y el punto común se conoce como vértice.

Para medir ángulos se emplea una herramienta llamada
transportador.

Ángulos

Podemos clasificar los ángulo según su medida: agudo si mide
menos de 90◦ , recto si mide 90◦ , obtuso si mide más de 90◦ ,
pero menos de 180◦ y llano si mide 180◦ .

ÁngulosEncuentre las medidas de los ángulos de la siguiente figura,
sabiendo que ∠ABC es un ángulo recto.

Ángulos

Se dice que dos ángulos son complementarios si la
suma de sus medidas es 90◦ .
Se dice que dos ángulos son suplementarios si la suma
de sus medidas es 180◦ .

Ángulos

Ejercicio
El suplemento de un ángulo mide 10◦ más que el triple de su
complemento. Calcule la medida del ángulo.Rectas paralelas

Las rectas paralelas son aquellas que están en el mismo
plano y no se intersecan. Una recta que interseca dos rectas
paralelas se denomina transversal.

Ángulos entre paralelas

Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal
se forman ocho ángulos, como se muestra en la figura.

Ángulos entre paralelas

∠5 y ∠4 se llaman ángulos alternos internosy son
congruentes, es decir, tienen la misma medida, esto se
nota ∠5 ∼ ∠4.
=
∠1 y ∠8 se llaman ángulos alternos externos y ∠1 ∼ ∠8.
=
∠6 y ∠2 se llaman ángulos correspondientes y ∠6 ∼ ∠2.
=
∼ ∠6.
∠7 y ∠6 se llaman opuestos por el vértice, ∠7 =

Ángulos entre paralelas

Ejercicio
Encuentre otros pares de ángulos
alternos internos
alternos externos
correspondientes
opuestos por elvértice

Ángulos entre paralelas

Ejercicio
En la figura m||n. Encuentre el valor de los ángulos que se
indican.
(3x+2)o

(5x-40)o

Triángulos
Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida.
Podemos clasificar los triángulos por la medida de sus lados:
equilátero es el que tiene todos sus lados congruentes,
isósceles tiene dos lados congruentes y escaleno no tiene
ladoscongruentes.

Triángulos

También se pueden clasificar por la medida de sus ángulos:
acutángulo tiene todos sus ángulos agudos, rectángulo tiene
un ángulo de 90◦ , obtusángulo tiene un ángulo obtuso.

Triángulos

La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180◦ .

Triángulos

Ejercicio
Calcule la medida de cada ángulo del triángulo de la figura.

Triángulos
Definición
Enel triángulo que se aprecia en la figura, los ángulos 1, 2 y 3
se llaman ángulos interiores, mientras que los señalados con
los números 4, 5 y 6 se llaman ángulos exteriores del
triángulo.

Triángulos

La medida de un ángulo exterior de un triángulo, es igual a la
suma de las medidas de los dos ángulos interiores opuestos.

Triángulos

Ejercicio
Calcule las medidas de los ángulos...