Geometria
Páginas: 9 (2039 palabras)
Publicado: 5 de julio de 2010
GEOMETRÍA ANALÍTICA
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
CONTENIDO
1. 2. 3. 4. 5. 6. De la elipse De la circunferencia De la parábola De la hipérbola Ejercicios Trazado de una curva dadas sus ecuaciones paramétricas
Hemos visto, que si un lugar geométrico tiene una representación analítica, la cual es una sola ecuación que contiene dos variables. Ahora veremos la representación analítica de una curvautilizando dos ecuaciones, que se llaman ecuaciones paramétricas de la curva. Reciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables x y y, cada una separadamente, están expresadas en función de la misma tercera variable. Según esto, designando por la letra z la tercera variable, comúnmente llamada variable paramétrica, estas ecuaciones se representan en la siguiente forma general:
x = F(z) y = F (z)
Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos, como se puede ver en el siguiente ejemplo:
1.
De la elipse
Un segmento de recta de 10 cm de longitud se mueve apoyando sus extremos en los ejes de coordenadas. Determinar lugar geométrico el descrito por un punto P(x, y) situadosobre el segmento A B a 4 cm del extremo que se apoya sobre el eje de las x, como se muestra en la figura adjunta:
10. ECUACIONES PARAMÉTRICAS
EJEMPLO.
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
10-1
EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
GEOMETRÍA ANALÍTICA
SOLUCIÓN
Observando la figura anterior se tienen las funciones trigonométricas:
cos φ =
x 6
y sen φ =y 4
Por tanto despejando:
x = 6 cos φ y = 4 sen φ
Estas son las ecuaciones paramétricas del lugar geométrico descrito, pero necesitamos transformarlas para que podamos identificar, e incluso, para que podamos darnos cuenta de que las dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva. Elevando al cuadrado las dos ecuaciones anteriores: x = cos2 φ 36 2 y = sen2 φ 16 Sumando miembro amiembro:
2 y x + = sen2 φ + cos2 φ 36 16 2 2
Pero se sabe que: sen2 φ + cos2 φ = 1 Sustituyendo tenemos:
2 y x + =1 36 16 2
Por el resultado obtenido, vemos que el lugar geométrico descrito por P es una elipse horizontal, con centro en el origen, cuyos semiejes miden 6 y 4. Este problema nos hace ver que toda elipse como la que acabamos de ver con semiejes a y b, esta representada por lassiguientes ecuaciones paramétricas:
x = a cos φ ......................................................................................................................... I y = b sen φ ......................................................................................................................... I’
Si la elipse es vertical con centro en el origen, sus ecuaciones paramétricas son:
x =b cos φ ......................................................................................................................... II y = a sen φ ........................................................................................................................ II’
10. ECUACIONES PARAMÉTRICAS AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
10-2 GEOMETRÍA ANALÍTICA
2.
De la circunferencia:
Para el caso de una circunferencia de radio a y parámetro ϕ, también con centro en el origen. Si P(x, y) es un punto cualquiera de la curva, las ecuaciones paramétricas de acuerdo a la figura adjunta son: Considerando a P un punto cualquiera de la curva y a como el radio de la circunferencia. De la figura se tiene:
sen φ = cos φ =
y ax a
Despejando tendremos las ecuaciones paramétricas:
y = a sen φ ....................................................................................................................... III x = a cos φ ...................................................................................................................... III’
En este caso observamos que el coeficiente a es el mismo, puesto...
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
CONTENIDO
1. 2. 3. 4. 5. 6. De la elipse De la circunferencia De la parábola De la hipérbola Ejercicios Trazado de una curva dadas sus ecuaciones paramétricas
Hemos visto, que si un lugar geométrico tiene una representación analítica, la cual es una sola ecuación que contiene dos variables. Ahora veremos la representación analítica de una curvautilizando dos ecuaciones, que se llaman ecuaciones paramétricas de la curva. Reciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables x y y, cada una separadamente, están expresadas en función de la misma tercera variable. Según esto, designando por la letra z la tercera variable, comúnmente llamada variable paramétrica, estas ecuaciones se representan en la siguiente forma general:
x = F(z) y = F (z)
Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos, como se puede ver en el siguiente ejemplo:
1.
De la elipse
Un segmento de recta de 10 cm de longitud se mueve apoyando sus extremos en los ejes de coordenadas. Determinar lugar geométrico el descrito por un punto P(x, y) situadosobre el segmento A B a 4 cm del extremo que se apoya sobre el eje de las x, como se muestra en la figura adjunta:
10. ECUACIONES PARAMÉTRICAS
EJEMPLO.
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
10-1
EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
GEOMETRÍA ANALÍTICA
SOLUCIÓN
Observando la figura anterior se tienen las funciones trigonométricas:
cos φ =
x 6
y sen φ =y 4
Por tanto despejando:
x = 6 cos φ y = 4 sen φ
Estas son las ecuaciones paramétricas del lugar geométrico descrito, pero necesitamos transformarlas para que podamos identificar, e incluso, para que podamos darnos cuenta de que las dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva. Elevando al cuadrado las dos ecuaciones anteriores: x = cos2 φ 36 2 y = sen2 φ 16 Sumando miembro amiembro:
2 y x + = sen2 φ + cos2 φ 36 16 2 2
Pero se sabe que: sen2 φ + cos2 φ = 1 Sustituyendo tenemos:
2 y x + =1 36 16 2
Por el resultado obtenido, vemos que el lugar geométrico descrito por P es una elipse horizontal, con centro en el origen, cuyos semiejes miden 6 y 4. Este problema nos hace ver que toda elipse como la que acabamos de ver con semiejes a y b, esta representada por lassiguientes ecuaciones paramétricas:
x = a cos φ ......................................................................................................................... I y = b sen φ ......................................................................................................................... I’
Si la elipse es vertical con centro en el origen, sus ecuaciones paramétricas son:
x =b cos φ ......................................................................................................................... II y = a sen φ ........................................................................................................................ II’
10. ECUACIONES PARAMÉTRICAS AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
10-2 GEOMETRÍA ANALÍTICA
2.
De la circunferencia:
Para el caso de una circunferencia de radio a y parámetro ϕ, también con centro en el origen. Si P(x, y) es un punto cualquiera de la curva, las ecuaciones paramétricas de acuerdo a la figura adjunta son: Considerando a P un punto cualquiera de la curva y a como el radio de la circunferencia. De la figura se tiene:
sen φ = cos φ =
y ax a
Despejando tendremos las ecuaciones paramétricas:
y = a sen φ ....................................................................................................................... III x = a cos φ ...................................................................................................................... III’
En este caso observamos que el coeficiente a es el mismo, puesto...
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