Geometría Euclidiana

Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
Preparatoria 2 de octubre de 1968
Matemáticas II
Historia de la Geometría Euclidiana




Tabla de contenido
Introducción 3
Desarrollo 3
Historia de la Geometría Euclidiana 3
Euclides 6
Los cinco postulados de Euclides 8
Los elementos 9
Conclusión 10
Bibliografía 11

IntroducciónLa geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egiptoestaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchossiglos: la geometría euclidiana descrita en «Los Elementos».
El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa, donde las figurasgeométricas, tales como las curvasplanas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial.
Desarrollo

Historia de la Geometría Euclidiana

La Geometría Euclidiana es aquellaque estudia las propiedades del plano. En ocasiones los matemáticos usan el término para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, geometría euclidiana es sinónimo de geometría plana.
Desde un punto de vista historiográfico, la geometría euclidiana es aquella geometría que postuló Euclides, en su libro & quot Los elementos ", dejando almargen las aportaciones que se hicieron posteriormente –desde Arquímedes hasta Steiner.
Axiomas o Postulados La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático. Un sistema de axiomas es aquel que, a partir de un cierto número de postulados que se presumen verdaderos (conocidos como axiomas) y a través de operaciones lógicas, genera nuevos postulados cuyo valor deverdad es también positivo. Euclides planteó cinco postulados en su sistema:
Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une. Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio. Todos los ángulos rectos son iguales.
Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulosinternos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como: Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.
Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, y muchosgeómetras, incluido el propio Euclides, han intentado deducirlo de los anteriores. Cuando intentaron reducirlo al absurdo negándolo, surgieron dos nuevas geometrías: la elíptica, también llamada geometría de Riemann o riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperbólica o de Lobachevsky (existenvarias rectas paralelas que pasen por un punto exterior a una dada).
Omisiones de Euclides Alguno de los errores de Euclides fue omitir al menos dos postulados más: Dos circunferencias cuyos centros estén separados por una distancia menor a la suma de sus radios, se cortan en dos puntos (Euclides lo utiliza en su primera construcción) Dos triángulos con dos lados iguales y los ángulo comprendido...