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Límite de una sucesión

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.
Ladefinición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite
Ejemplos
* La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converge al límite 0.
* La sucesión 1, -1, 1, -1, 1,... es oscilante.
* La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al límite 1.
* Si a es un número real con valor absoluto |a| < 1, entonces la sucesión an posee limite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/n posee límite 1.
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Funciones reales de una variable real

Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervaloI es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha.
El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe.
El intervalo J de y es elrango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I). Notar que en general, no es igual que el codominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.)
El mayor elemento de J' se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.

Calculo de límites
Cálculo del límite enun punto
Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquena -2.
Sin embargo si podemos calcular , aunque 3 no pertenezca al dominio, D= − {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.
Cálculo del límite en una función definida a trozos
En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.
Si coinciden, este es el valor del límite.
Si no coinciden, el límite noexiste.
.
En x = −1, los límites laterales son:
Por la izquierda:Por la derecha:
Como en ambos casos coinciden, existe el límite y vale 1.
En x = 1, los límites laterales son:
Por la izquierda:Por la derecha:
Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.
Propiedades de los límites
Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de uncociente

Límite de una potencia

Límite de una función

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.
Límite de una raíz

Límite de un logaritmo

Límites laterales

Existen límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, se hallan algunas funciones que presentan ciertas discontinuidades. Estas funciones son llamadas discontinuas y que estudiaremosen el tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites en este tipo de funciones.

CONCEPTO DE CONTINUIDAD

Una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es...