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Matemática I

SESIÓN Nº 10

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
En la sesión anterior, se aplicó las derivadas de una función, para hallar los máximos y mínimos usando el criterio de la primera y segunda derivada. Ahora se estudiará la aplicación del cálculo diferencial en la solución de problemas sencillos: 3 1.- Sea V pie el volumen de x pies de arista, de un cubo encontrar la velocidad decambio del volumen por cambio de pie en la longitud de la arista, cuando x  3 pies , si la arista crece a razón de 3 pie / seg . Solución: El volumen de un cubo, en función de la arista, se expresa: Derivando respecto del tiempo: Reemplazando:

V

x3

dv dx  3x2 dt dt

x  3 pie

dx  3 pie / seg dt

dv  3 ( 3 )2 ( 3 ) dt dv  81 pie 3 / seg dt
Observar que al derivar el volumenrespecto de x solo se obtiene: 3

V  x dv  3 x2 dx

2 2.- Un punto se mueve en la parábola y  12 x . ¿En qué punto la abscisa y la ordenada aumentan a la misma razón? Solución:

y 2  12 x
Derivando explícitamente respecto del tiempo:

2 y

dy dx  12 dt dt

Matemática I Como la abscisa y la ordenada aumentan a la misma razón, entonces:

dy dx  dt dt
Luego, simplificando:

2 ydy dx  12 dt dt 2 y  12 y 6
y  6 en y 2  12 x para hallar la abscisa:

Reemplazando

y 2  12 x 6 2  12 x 36  12 x 36 x 12 x  3
En el punto ( 3, 6 ) la abscisa y la ordenada aumentan a la misma velocidad. 2 3 3.- Un punto se mueve por la parábola y  x de tal forma que su ordenada aumenta a razón de 6 cm / seg , cuando y  8 cm . ¿Con qué rapidez cambia la abscisa? Solución:

y2 x3
Derivando implícitamente respecto del tiempo:

2 y
Según el enunciado:

dy dx  3 x2 dt dt

dy cm  6 dt seg
Reemplazando

y  8 cm
dx dt

2 (8 ) (6 )  3 x 2

¿Cuánto vale x ? El valor de x , se calcula reemplazando 2 3 y  8 cm en y  x 2 3

8

 x

Matemática I

64  x 3 x  3 64 x  4 cm
dx dt dx 2 ( 8 ) ( 6 )  3 ( 16 ) dt ( 2 ) (8 ) ( 6 ) dx Despejando:  dt ( 3) ( 16 ) dx  2 cm / seg dt
Luego:

2 ( 8 ) ( 6 )  3 ( 4 )2

4.- Una bola de nieve esférica se forma de tal manera que su volumen 3 aumenta a razón de 8 m / min .- Encontrar la rapidez a la cual aumenta el radio, cuando la bola de nieve tiene 4 m de diámetro. Solución: El volumen de la esfera: V
V



4  3

R3

Derivando respecto del tiempo: Según el enunciado:

dv dR  4 R 2dt dt

dv  8 m 3 / min dt
Reemplazando:

D  4 m ( diámetro )  R  2 m

22 dR dt dR 8  4  4 dt
84
dR 8 1   m / min dt 4 ( 4 ) 2

Despejando y simplificando:

OBSERVACIÓN: Cuando la variable aumenta, su derivada o razón de cambio es positiva; y si la variable disminuye, su derivada o razón de cambio es negativa.

Matemática I 5.- Una escalera de 5 m de largo se apoyasobre una pared vertical.- La base de la escalera se jala horizontalmente, alejándola de la pared a una velocidad de 4 m / seg .- ¿Con qué rapidez resbala la parte superior de la escalera, cuando la base está a 3 m de la pared? Solución: C

y : Distancia en m desde el piso a la parte
superior de la escalera.

x : Distancia en m desde la base de la
y 5 escalera a la pared.

t : Tiempo

ensegundos que ha transcurrido, desde que la escalera empezó a resbalar de la pared.

A x Solución:

B

Como la base de la escalera se jala horizontalmente a una velocidad de

4 m / seg , entonces:
Se desea hallar

dx  4 m / seg dt
Cuando

dy ? dt

x  3m

En el triángulo rectángulo ABC, aplicando el Teorema de Pitágoras: 2 2 2

x y 5
2

x 2  y  25
Derivandoexplícitamente respecto del tiempo:

2x

dx dy  2y 0 dt dt

Recordar que la derivada de una constante ( 25 ) es cero. dy Reemplazando valores: 2 ( 3 ) ( 4 )  2 y 0 dt ¿Cuánto vale " y " ? En el triángulo ABC 2 2 2

x y 

 5

3 2  y 2  25

Matemática I

9  y 2  25 y 2  25  9 y 2  16 y 4
Luego:
2(3)( 4)  2( 4) dy 0 dt dy 24  8 0 dt

Despejando: 8

dy   24 dt dy 24...