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  • Publicado : 3 de noviembre de 2010
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Consideremos que tenemos un círculo y lo queremos partir a la mitad; de esta mitad queremos tomar nuevamente la mitad y así sucesivamente. Estas subdivisiones las podemos representar de la siguiente manera:

Considera al primer círculo como un entero, entonces lo podemos representar como 1. Después, consideremos la mitad de este círculo, entonces lo podemos representar como ½ y si sumamos ½ + ½=1. Podemos representar la mitad de esta mitad,  como ¼ y así consecutivamente ¿Qué pasa si seguimos subdividiendo estas partes? Podemos representar esta situación a partir de una secuencia formada por los números 1, 1/2,1/4 y1/8.
¿Terminaríamos alguna vez de obtener estas subdivisiones? ¿Crees que esta subdivisión es finita o infinita? ¿Además, crees que es cierto que 1=1/2+1/4+1/8+….? ¿Porqué? En esta situación encontramos presente el concepto de límite, ya que observamos que los valores del numerador en los términos de la secuencia se vuelven cada vez más grandes y esto hace que cada uno de los siguientes términos se vuelvan más pequeños, casi llegando a cero, ¿pero alguna vez llegaríamos a cero? ¿El límite de estas subdivisiones o el último término que esperamos obtener en estasecuencia sería cero, de tal forma que podamos llegar a uno en la suma?
Podemos representar estos valores numéricamente como aparece en la siguiente tabla:

Podemos incluso trazar la gráfica de estos valores para observar hacia donde se aproximan:

¿Qué observas hacia dónde se aproximan estos valores en la gráfica? A medida que nuestra variable “x” es cada vez más grande, qué pasa con los valoresen la variable “y” que se aproxima cada vez más a cero. ¿Existe alguna función que represente esta serie? ¿Cuál es?
Límites infinitos
Hasta este momento has trabajado con funciones racionales, en donde los límites pudieron tener la forma 0/0 (conocidos como formas indeterminadas); es decir, el límite dónde el numerador y el denominador se aproximan a 0 y  las solucionabas  factorizando lasexpresiones algebraicas.
Ahora vas a examinar límites en los cuales el numerador se aproxima a cero, pero el numerador tiende a un número distinto de 0. En este tipo de límites, apreciarás que las representaciones graficas tendrán discontinuidades y habrá unas rectas llamadas asíntotas.
Por ejemplo, considera la función   , si se observa la gráfica y los valores de la siguiente tabla:

Se apreciaque cuando x se aproxima a 0 por la derecha, 1/x se aproxima a infinito positivo; cuando x se aproxima a 0 por la izquierda, 1/x tiende a infinito negativo.
En forma simbólica, estos límites infinitos se escriben como: Cualquiera que de estos dos hechos implica que  no existe.

Asíntota vertical

La grafica de estas funciones es:

Límites al infinito
¿Qué le ocurre a la función  cuando xtoma valores muy grandes, es decir, si x tiende al infinito positivo  y al infinito negativo?
Si se observa la gráfica y los valores de la siguiente tabla:

Puedes ver que cuando x aumenta indefinidamente al tomar valores positivos cada vez más grandes, los valores de f(x) se aproximan a 0. De la misma forma, cuando x disminuye indefinidamente al tomar valores negativos, los valores de f(x) seaproximan a 0.
En forma simbólica, estos límites infinitos se escriben como:
Estos límites se conocen como límites al infinito.
En general, se tienen las siguientes reglas:
Sean f(x) y g(x) dos funciones polinomiales y a, b, c, d ; con n>m, entonces:

Asíntota horizontal

Graficamente

Nota: Observa que en esta gráfica, la asíntota horizontal corta a la gráfica de la función. Unaasíntota horizontal puede cruzar a la gráfica de una función muchas veces; pero una asíntota vertical nunca la podrá cruzar. ¿Por qué?
En general, cuando tengamos una función racional F(x)=f(x)/g(x), los resultados de los límites para las formas , se resumen en la siguiente tabla:

Tema 10. Definición de la derivada e  interpretación |
Una de las principales aplicaciones del cálculo es...
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