Independencia de trayectoria
Ejemplo:Suponga que un campo de fuerza f ( x, y ) y 2 2 x 4, 2 xy 4 y 5 mueve una
partícula desde el orígen hasta el punto 1,1 . Se demostrará que el trabajo total realizado es el mismo si la trayectoria es a lo largo de: a del segmento de recta desde el orígen hasta
1,1 . b del arco parábola
Solución:
y x 2 desde el origen al punto 1,1 . c del arco de la curva
x y 3 desde el orígen al punto 1,1 .
Si T es la medida del trabajo efectuado, entonces:
T y 2 2 x 4 dx 2 xy 4 y 5 dy
C
1
a Una ecuación de C es dy dx en 1 . Entonces:
y x . Se emplea x como parámetro y se considera y x y
1
T x 2 2 x 4 dx 2 x 2 4 x 5 dy
0
3 x 2 6 x 1 dx
1 0
x3 3x 2 x 1 3 1 31 0
b Otra ecuación de C
es y x 2 . Tomando nuevamente x como parámetro y
considerando y x 2 y dy 2 xdx en 1 , se obtiene:
T x 4 2 x 4 dx 2 x 3 4 x 2 5 2dx
1 0
5 x 4 8 x3 8 x 4 dx
1 0
x5 2 x 4 4 x 2 4 x 1 2 4 4 3
1 0
c Otra ecuación de C es y x3 . Si se toma y como parámetro y considera dx 3 y 2dy en 1 , se obtiene:
T y 2 2 y 3 4 3 y 2 dy 2 y 4 4 y 5 dy
1 0
y x3 y
6 y 5 5 y 4 12 y 2 4 y 5 dy
1 0
y6 y5 4 y3 2 y 2 5 y 11 4 2 5 3
1.1.2. Campo Gradiente. Función Potencial
1 0
El gradiente de un campo escalar es un campo vectorial. Si es un campo escalar de f es campo vectorial definido por f ,entonces f se llama campo vectorial gradiente y recibe el nombre de función potencial para f . Ejemplo: Sea f f1 , f 2 seny, x cos y 3 , b Halle un potencial de f . Solución:
a pruebe
que f es campo gradiente.
a
f1 f cos y , 2 cos y x y
f es campo gradiente
un potencial de f , entonces seny , x cos y 3 x y Integrando respectoa x tenemos: x
b sea
x , y xseny C( y )
Ahora derivando parcialmente 2 con respecto a y:
x cos y Cy x cos y 3 x Cy 3
2
Así, C y 3 y y nuestra función potencial buscada es:
x , y xseny 3 y
1.1.3.- Campo Conservativo. Se denomina como campo conservativo a un campo vectorial que es gradiente, y además es independiente dela trayectoria. El término conservativo se refiere a que a lo largo de la trayectoria, la energía mecánica permanece sin alteración.
Ejemplo: Pruebe que f ( x, y ) 6 xy 2 y 3 , 6 x 2 y 3 xy 2 es campo conservativo.
Solución:
f f Primero debemos comprobar que f es campo gradiente, es decir, 2 1 . Sea x y 2 3 2 2 f1 6 xy y y f 2 6 x y 3 xy , entonces:
f1 12 xy 3 y 2 y f 2 12 xy 3 y 2 x
f es campo gradiente
f
es campo conservativo.
1.2.-
1.2.1.- Indique condiciones para que un campo vectorial f : D 2 2 sea campo gradiente.
Condiciones para que f : D 2 2 sea campo gradiente, D debe ser conjunto abierto, convexo, además, f debe tener derivadas continuas. Si lo anterior se cumple, entonces: , f f 0 , es decir, si f f1 , f 2 f f f es campo gradiente 2 1 x y 1.2.2.- Análogo para f : D 3 3 Para 3 , Condiciones para que f sea campo gradiente: ( f es campo gradiente en D , conjunto convexo) rotf 0
rot f = xf = , , x f1 , f 2 , x y z ˆ ˆ ˆ i j k ˆ = i y z ˆ x j x y z f1 f 2 f3 f1 f 2...
Regístrate para leer el documento completo.