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INVESTIGACION NUMERO 1
Establezca una ecuación diferencial lineal de segundo orden

Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma:
y´´ + p(x) y´ + q(x) y = g(x)

* ¿En qué casos esta ecuación diferencial es homogénea?

Si g(x) = 0 se llama ecuación homogénea caso contrario; es decir, si g(x) ≠ 0 se llama
Ecuación no homogénea.

* Existencia y unicidad de soluciones:Sea f (t, y) una función continua, en el rectángulo R = {(t, y)/a ≤ t ≤ b,
C ≤ y ≤ d}, verificando dfdyt,y ≤ L para todo punto (t; y) € R; con L una constante positiva y (a, ∞) € R: El problema de valor inicial (P.C.) tiene solución única en algún intervalo [a, a + E]

* Problema del valor inicial

Un problema de valor inicial o de Cauchy consta de una ecuación diferencial deorden y de condiciones iníciales impuestas a la función desconocida y a sus primeras derivadas en un valor de la variable independiente. |
 Es decir

Ejemplo
Una partícula se mueve a lo largo del eje de manera tal que su aceleración en cualquier tiempo está dada por. Encuentre la posición de la partícula en cualquier tiempo, suponiendo que inicialmente la partícula está localizada en yestá viajando a una velocidad de.
Recuerde que la primera derivada de la posición nos da la velocidad y la segunda derivada la aceleración. De donde el problema de valor inicial sería

Integrando con respecto a obtenemos

y usando la condición podemos hallar que , con lo cual la velocidad en cualquier tiempo sería

Integrando de nuevo

y usando la condición podemos determinar qué yobtener la posición de la partícula en cualquier tiempo

* Principio de superposición
El principio de superposición o teorema de superposición es un resultado matemático que permite descomponer un problema lineal en dos o más subproblemas más sencillos, de tal manera que el problema original se obtiene como "superposición" o "suma" de estos subproblemas más sencillos.
Técnicamente, elprincipio de superposición afirma que cuando las ecuaciones de comportamiento que rigen un problema físico son lineales, entonces el resultado de una medida o la solución de un problema práctico relacionado con una magnitud extensiva asociada al fenómeno, cuando están presentes los conjuntos de factores causantes A y B, puede obtenerse como la suma de los efectos de A más los efectos de B.
Digamos quey1, y2 son soluciones de la ecuación diferencial de segundo orden lineal homogénea:

a2(x) d2/dx2 + a1(x) + a0(x) y = 0

En un intervalo I.

* Dependencia e independencia lineal de funciones

Sea {v1, v2,..., vn} un conjunto de vectores. Decimos que son linealmente dependientes si existen números 'a1, a2,..., an, no todos iguales a cero, tal que:

Nótese que el símbolo a la derechadel signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo. El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula.
Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes.
Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así:
Un conjunto de vectores U de un espacio vectorial es linealmente independiente si ∀
Esta idea esimportante porque los conjuntos de vectores que son linealmente independientes y generan a un espacio vectorial, forman una base para dicho espacio.

Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos:
1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás.
2. Si unconjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo también lo es.
Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinación de los demás, escogiendo solamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los otros.
1. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente también lo es todo conjunto que lo contenga.
Ya que un conjunto de...
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