Ingenieria

CAPÍTULO 1

TENSIÓN

Hoy trataremos algún aspecto del diseño de una vasija o depósito de pared delgada (t/r0 TRACCION τ >0 τ

x

u θ

⎛ σ∗ ⎞ ⎛ σ x x ⎜ ∗⎟=⎜ ⎜σ ⎟ ⎜τ ⎝ y ⎠ ⎝ xy

τ xy ⎞ ⎛ cos θ ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎟ σ y ⎠ ⎝ senθ ⎠

y

σy τxy σn τ θ θ σx u

σ n = σ x cos 2 θ + τ xy sen2θ + σ y sen 2θ σy σx τ= sen2θ − sen2θ − τ xy cos 2θ 2 2

x

⎡ σx + σy ⎤ σx − σy cos 2θ + τ xy sen2θ ⎢σ n− ⎥= 2 ⎥ 2 ⎢ ⎣ ⎦ σx − σy sen2θ − τ xy cos 2θ τ= 2

que corresponden a la ecuación de una circunferencia (en un plano cuyos ejes fueran σ y τ (Plano de Mohr) de centro:

(σ x + σ y )/2
y radio:

1 (σ − σ )2 + τ 2 xy 4 x y

τ

Existe una correspondencia biunívoca entre cada dirección que consideremos en el punto elástico en estudio y un punto del círculo de Mohr correspondiente a esepunto elástico: a cada dirección que pasa por las proximidades del punto P le corresponde un punto del círculo de Mohr cuya abcisa es la componente normal del vector tensión que actúa sobre la dirección considerada y cuya ordenada es la componente tangencial de dicho vector tensión Una vez dibujado el círculo de Mohr, pueden (τ max ) obtenerse, por ejemplo, σ los valores de las tensiones principalesasí como las σ1 (σ , − τ ) direcciones sobre las que actúan.

(σ
σ2

y

,τ xy )

C
⎛σ x +σ y ⎞ ⎜ , 0⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝

(τ max )

2θ

(σ

x

, − τ xy )

PASOS PARA EL DIBUJO DEL CÍRCULO DE MOHR

B A

A

A

A

C B B B

C

OBTENCIÓN DE LAS TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES
σy

Dirección y principal 2 σ 2
σx τxy σ1

σx

Plano principal 2

x

Direcciónprincipal 1

σy τ ε τxy

σ x +σ y
2

Plano principal 1
σ1 τxy τmax σ

y σ2

σy σx

x

PROPIEDADES CIRCULO DE MOHR:

Obtención del Polo del Círculo de Mohr:
τ

y
(σy,τxy) POLO

σ

(σx,-τxy)

x

Otros aspectos del círculo de Mohr.
A (σ,τ)

σ σ
B τ

σ

θ
C

τ A

θ σ

τ

σ

Direcciones en las que el ángulo del vector tensión con la normal al plano sobreel que actúa es máximo

¿A qué dirección representa el POLO del círculo de Mohr?

τ

(σy,τxy)

POLO σ

(σx,-τxy)

SOFTWARE DISPONIBLE EN LA RED

http://www.tecgraf.puc-rio.br/etools/mohr/mohreng.html

http://www.eng.usf.edu/~kaw/software/

http://www.umoncton.ca/turk/CdeMohr.xls

TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS (Problemas bidimensionales)
z y σΙΙΙ=0
τ

σΙΙ
x

σΙΙτmax

σΙ

τ max =
σ

σ I − σ II
2

τ
σΙ σΙΙ

σΙ

Dirección de σIII

τmax
σΙ

σΙ

σΙΙΙ=0
τ

σ

τ max =

σI
2

Dirección de σIII
τmax σΙΙ σΙ σΙΙΙ=0

σΙΙ

σ

τ max =

σ II
2

τ max

⎛ σ I − σ II σ I σ II ⎞ = Máximo de ⎜ , , ⎟ 2 2 2 ⎠ ⎝

TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS (Problemas tridimensionales)

τ max

⎛ σ1 − σ 2 σ1 − σ 3 σ 2 − σ 3 = Máximo de ⎜ , ,⎜ 2 2 2 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Más, en la web, sobre círculo de Mohr:
http://www.engin.umich.edu/students/support/mepo/ELRC/me211/mohr.html

CAPÍTULO 2

DEFORMACIÓN

Al aplicar cargas a un sólido, éste se deforma.

Vamos a suponer que, las deformaciones que se producen dentro del sólido son “pequeñas”de manera tal que, la geometría del sólido antes y después de deformarse es, a efectosprácticos, la misma.

Sólido sin deformar

Sólido deformado

DEFORMACION LONGITUDINAL

∆l εL = l0

∆x

x = posición geométrica u = desplazamiento experimentado Configuración sin deformar

Configuración deformada
P ∗Q ∗ − PQ ε x (P ) = lim ∆x→0 PQ
P ∗ Q ∗ = OQ ∗ − OP ∗ = [x + ∆x + u (Q )] − [x + u (P )]
P ∗ Q ∗ − PQ = u (Q ) − u (P ) = ∆u

∆u ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟ ε x (P ) = lim ∆x→0 ∆x ⎝ dx ⎠P

n B

∆s
A

B*

∆s*
A*

Sólido no deformado

Sólido deformado

∆s * −∆s ε = lim B → A along n ∆s
a lo largo de n

∆s* ≈ (1 + ε )∆s ∆s * ε≈ −1 ∆s

DEFORMACION ANGULAR, TANGENCIAL, DE CORTE O DE CIZALLADURA

z

δ
γyz h x

τyz

tgγ yz ≈ γ yz =
y

δ
h

Configuración sin deformar

γ P = lim ángulo QPR − ángulo Q ∗ P ∗ R ∗
Q→P R→P

[

]

γP = lim π...