Ingeniero

CAPITULO 3 REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 3.1 Introducción Como ya se mencionó, un robot esta diseñado para manipular piezas y realizar operaciones diversas dentro de una zona de trabajo. La manipulación efectuada se traduce en giros y traslaciones en el espacio. Si el robot esta dotado de visión debe tener la capacidad para reconocer una pieza a diferentes distancias y en distintas posiciones. Unenfoque matricial para estos problemas es muy ventajoso, pues las transformaciones de traslación, giro, etc., se planean mediante el producto de una matriz por un vector con lo que se obtiene una formulación sencilla. 3.2 Matriz de translación

Sea un sólido rígido en p1 = ( x1 , y1 , z1 ) de un espacio tridimensional. Luego su posición esta definida por dicho vector

( x1 , y1 , z1 ) . Si elsólido
será:

se traslada en una distancia d, la nueva posición

⎧ x2 ⎫ ⎧ x1 ⎫ ⎧d x ⎫ ⎧ x1 + d x ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ y 2 ⎬ = ⎨ y1 ⎬ + ⎨d y ⎬ = ⎨ y1 + d y ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ z 2 ⎭ ⎩ z1 ⎭ ⎩d z ⎭ ⎩ z1 + d z ⎭

(3.1)

Figura 3.1: traslación de un cuerpo.

De esta forma la transformación de la traslación corresponde a la suma de dos vectores. Esta traslación también se puede plantear como unatransformación: un producto de una matriz por un vector.

⎧ x2 ⎫ ⎪y ⎪ ⎪ 2⎪ ⎨ ⎬= ⎪z2 ⎪ ⎪1 ⎪ ⎩ ⎭

⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎣

0 0 d x ⎤ ⎧ x1 ⎫ 1 0 d y ⎥ ⎪ y1 ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎨ ⎬ 0 1 d z ⎥ ⎪ z1 ⎪ ⎥ 0 0 1 ⎥ ⎪1 ⎪ ⎦⎩ ⎭

(3.2)

y así

{x2 } = [Td ]{x1 }

donde Td se define matriz de traslación. Este modo de representar un vector se denomina de “coordenadas homogéneas” y desde el punto de vista de coordenadashomogéneas se puede escribir:

⎧wx ⎫ ⎧ x ⎫ ⎪w ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y ⎪ ⎪ y⎪ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎪wz ⎪ ⎪ z ⎪ ⎪ w ⎪ ⎪1 ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
posición

(3.3)

Si al sólido se aplica una nueva traslación, ésta ocupa ahora una nueva

{x3 } tal que:

{x3 } = [Te ]x2 = [Te ][Td ]{x1 } = [T f ]{x1 }
Luego:

(3.4)

⎡1 ⎢0 [Te ][Td ] = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎣
3.3

0 0 ex ⎤ ⎡1 1 0 ey ⎥ ⎢0 ⎥⎢ 0 1 ez ⎥ ⎢0 ⎥⎢ 0 0 1 ⎥ ⎢0 ⎦⎣

0 0 dx ⎤ ⎡1 10 dy ⎥ ⎢0 ⎥=⎢ 0 1 dz ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 0 1 ⎥ ⎢0 ⎦ ⎣

0 0 ex + dx ⎤ 1 0 ey + dy ⎥ ⎥ 0 1 ez + dz ⎥ ⎥ 0 0 1 ⎥ ⎦

(3.5)

Matriz de rotación

x 2 = x1 cos θ − y1 senθ y 2 = x1 senθ + y1 cos θ
Matricialmente (3.6)

⎧ x2 ⎫ ⎨ ⎬= ⎩ y2 ⎭

⎡cos θ − senθ ⎤ ⎧ x1 ⎫ ⎢ senθ cos θ ⎥ ⎨ y ⎬ ⎣ ⎦⎩ 1 ⎭

aplicando transformaciones homogéneas,

⎧ x2 ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ y2 ⎬ = ⎪1 ⎪ ⎩ ⎭

⎡cos θ − senθ 0 ⎤ ⎧ x1 ⎫ ⎢senθcosθ 0 ⎥ ⎪ y ⎪ ⎢ ⎥⎨ 1 ⎬ ⎢0 0 1 ⎥ ⎪1 ⎪ ⎣ ⎦⎩ ⎭

(3.7)

{x2 } = [Rθ ]{x1 }

(3.8)

En el caso de tres dimensiones el problema es más complejo pues depende de la forma de rotación.

Asumiendo tres rotaciones, cada una de ellas queda representada por:

La rotación total queda

⎣Rθφϕ ⎦ = ⎣Rϕx ⎦⎣Rφy ⎦[Rθz ]
El producto de estas tres matrices no es conmutativo.

(3.12)

3.4

CAMBIO DECOORDENADAS

Sea el sistema (x,y) que pasará a definirse en

x, y

Luego

x = x cos θ + ysenθ y = − xsenθ + y cos θ
en forma matricial (3.13)

⎧x ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬= ⎪ y⎪ ⎩ ⎭
o bien

senθ ⎤ ⎧ x ⎫ ⎡cos θ ⎢ − senθ cosθ ⎥ ⎨ y ⎬ ⎣ ⎦⎩ ⎭
θ
θ

(3.14)

{x} = [L ]{X } donde L = matriz de cambio de coordenadas
[Lθ ] = [Rθ ]T

Se puede ver además que Además:

i = i cos θ + j senθ j = −i senθ+ j cosθ
(3.15)

⎧i ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬= ⎪ j⎭ ⎩ ⎪

⎡cos θ senθ ⎤ ⎧i ⎫ ⎢- senθ cosθ ⎥ ⎨ j ⎬ ⎣ ⎦⎩ ⎭

(3.16)

Para el caso de tres dimensiones:

P( x ) = x i + y j + z k

(3.17)

Donde Y

{x} es la

coordenada de P en el sistema pasado (3.18)

P{x } = xi + y j + z k

{x} son las coordenadas de P en el nuevo sistema

Luego

x = i. p = i.i.x + i. j. y + i.k .z y = j. p = j.i.x + j.j. y + j.k .z z = k . p = k .i.x + k . j. y + k .k .z
Matricialmente (3.19)

⎧x ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ y⎬ = ⎪z ⎪ ⎩ ⎭

⎡ii i j i k ⎤ ⎧ x ⎫ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ji j j j k ⎥ ⎨ y ⎬ ⎢ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ki k j k k ⎥⎪z ⎪ ⎢ ⎣ ⎦⎩ ⎭

(3.20)

Considerando que:

i x = ii i y = ji i z = ki
Finalmente,

jx = i j jy = j j jz = k j

k x = ik k y = jk k z = kk
(3.21)

⎧x ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ y⎬ = ⎪z ⎪ ⎩ ⎭

⎡i x j x k x ⎤ ⎧ x ⎫ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪...