integracion por partes

Integración por partes
Definición
La integración por partes (I.P.P. en abreviado) es un método para calcular una integral de una función cuyas primitivas sedesconocen, y consiste en utilizar el teorema siguiente:
Sean u y v dos funciones reales de clase C1 (es decir derivable y de derivada continua) definidas sobreel intervalo [a;b].
Entonces se da la relación:

donde el corchete es una escritura abrevada de una diferencia: 

, con f una función definida sobre [a;b].
Se puede suponercondiciones menos restrictivas sobre u y v para aplicar esta fórmula: que sean derivables y que sus derivadas sean integrables.
La prueba del teorema es como sigue:  luego integrando ambos miembros (que se pueden integrar según las condiciones del teorema) entre a y b:

Luego, recordando que una función - aquí uv - es unaprimitiva de su derivada, y aplicando la linealidad de la integral al miembro de la derecha, se obtiene:

lo que da la fórmula del teorema.
Ejemplos: Las dosintegrales siguientes son a menudo las primeras que se proponen en todo curso sobre la I.P.P. pues son las más sencillas que no se saben integrar buscando primitivas.
Sea laintegral 

: La función u(t) = t   tiene como derivada u'(t) = 1, y la función v(t) = et  es su propia derivada: v'(t) = v(t). Luego el teorema da: .
Sea . Aquí noaparece ningún producto en la integral. El truco es introducir el factor 1: , luego, con 

 se obtiene: 

. Considerando x como una variable, J es una función de x,concretamente la primitiva de ln que se anula en x = 1. Esta I.P.P. permite hallar una primitiva sencilla de ln: x → x·ln x - x  (se quita la constante, inútil).