Integral de riemman stieltjes

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INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES
1-Introduccion
Se consideraran funciones acotadas de valor real en intervalos cerrados del sistema de numeros reales, se definirá la integral de una de estas funciones con repecto a otra y se obtendran las propiedades principales de esta integral. Sean f y g funciones de valor real definidas en un intervalo cerrado J = [a, b] de la recta real. Se habrá de suponer quetanto f como g estan acotadas en J ; esta hipótesis constante no se repetirá. Una particion de J es una colección finita de intervalos no traslapados cuya union es J. Por lo general, una particion P se describe haciendo específico un conjunto finito de numeros reales (x0, x1, , xn) tal que a = x0 ≤ x1 ≤ ≤ xn = b y tal que los subintervalos que ocurren en la particion P son los intervalos [xk−1, xk],k = 1, 2, , n. Más apropiadamente se hará referencia a los puntosterminales xk , k = 0, 1, , n como los puntos de la particion correspondiente a P . Sin embargo, en la practica a menudo es conveniente y no causa ninguna confusión, usar la palabra partición para designar la coleccion de subintervalos o bien la coleccion de puntos terminales de estos dubintervalos. Por lo tanto se escribe P = (x0,x1, , xn). Si P y Q son particiones de J , se dice que Q es un refinamiento de P o que Q es más fino que P siempre que todo subintervalo en Q esté contenido en algún subintervalo en P . Esto es equivalente a la condición de que todo punto de la partición en P sea también un punto de la partición en Q. Por esta razón se escribe P ⊆ Q cuando Q es un refinamiento de P . Definición 1. Si P es unaparticion de J, entonces una suma de Riemann-Stieltjes de f con respecto a g y correspondiente a P = (x0, x1, , xn) es un numero real S(P ; f , g) de la forma
n

S(P ; f , g) =
k=1

f (ξk){g(xk) − g(xk−1)}.

Se han elegido aquí numero ξk que satisfacen xk−1 ≤ ξk ≤ xk para k = 1, 2, , n. Observe que si la función esta dada por g(x) = x, entonces la expresión en la ecuación anterior se reduce a
nf (ξk)(xk − xk−1)
k=1

Para una función general g, el lector debra interpretar la suma de Riemann-Stieltjes análoga a la suma de Riemann excepto que en vez de cosiderar la longitud xk − xk−1 del subintervalo [xk −1, xk], se esta considerando otra medida de magnitud de este subintervalo, especificamente la diferencia g(xk) − g(xk−1). De modo que si g(x) es la ’masa’ o ’carga’ total en elintervalo [a, x], entonces g(xk) − g(xk −1) designa la masa o carga en el subintervalo [xk−1, xk]. La idea es que se desea poder considerar medidas de magnitud de un intervalo distintas de longitud, de modo que se toman en cuenta las sumas de Riemann-Stieltjes ligeramente más generales. 1

Se observará que ambas sumas, la de Riemann y la de Riemann-Stieltjes dependen de la elección de los ’puntosintermedios’ es decir, de los numeros ξk , 1 ≤ k ≤ n. De modo que puede ser aconsejable incluir una notación que muestre la elección de estos números. Sin embargo, al introducir una partición más fina siempre se puede suponer que los puntos intermedios ξk son puntos de partición. De hecho, si se introduce la partición Q = (x0, ξ1, x1, ξ2, , ξn , xn) y la suma S(Q; f , g) en que los puntos intermediosse han tomado alternativamente de los puntos terminales a la derecha y a la izquierda en el subintervalo, entonces, la suma S(Q; f , g) da el mismo valor que la suma de Riemann. Se podría suponer siempre que la partición divide al intervalo en un número par de subintervalos y que los puntos intermedios son, alternativamente los puntos terminales de la derecha y de la izquierda de estossubintervalos. Sin embargo, no será necesario requerir de este proceso de partición ni tampoco será necesario exhibir estos puntos intermedios. Se dice que f es integrable con respecto a g en J si existe un numero real I tal que para todo ε > 0 exista una partición Pε de J tal que si P es cualquier refinamiento de Pε y S(P ; f , g) es cualquier suma de Riemann-Stieltjes correspondientes a P , entonces |S(P...
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