Integral Definida
Páginas: 7 (1518 palabras)
Publicado: 11 de diciembre de 2012
UNIDAD I: INTEGRAL INDEFINIDA
LA ANTIDERIVADA
El Concepto operativo de LA ANTIDERIVADA se basa en una operación contraria a la derivación.
Definición
Se dice que una función [pic]es una antiderivada de una función [pic]si [pic]en algún intervalo.
Ejemplo 1:
La antiderivada de [pic]
En general la antiderivada de la función [pic] es una familia de funciones que en el ejemploanterior está representada por [pic]donde [pic] es una constante cualquiera
Notación
La antiderivada de [pic] se representa por [pic] donde:
• Al símbolo [pic]se le llama símbolo de la integral
• A la expresión [pic] se le llama integral indefinida de [pic] con respeto a [pic]
• La función [pic] se denomina integrando.
• [pic] es eldiferencial de “x” e indica la variable respecto a la cual se integra.
• Al número [pic] se le llama constante de integración
El proceso de encontrar una antiderivada recibe el nombre de antidiferenciación o integración.
Recordemos que :[pic] , entonces [pic], luego [pic]
Al término [pic] se lee el diferencial de [pic].
Reglas para diferenciales
Si [pic] y [pic] entonces
[pic][pic]
[pic]
[pic]
Ejemplo 2:
Si [pic]entonces la [pic]
Ejercicio 1:
Verifique para cada unos de los problemas siguientes que la antiderivada o integral indefinida de [pic] es [pic]
a) [pic]
Solución
Observemos que:
[pic]
Por tanto: [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e)[pic]
f) [pic]
Propiedades de la integral indefinida
Si [pic], entonces
1. [pic]
2. [pic], para cualquier constante [pic]
Algunas antiderivadas básicas conocidas
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic]
9. [pic]
10. [pic]
11. [pic]
12. [pic]
13. [pic]
14. [pic]
15.[pic]
Ejercicio 2:
Evaluar cada una de las integrales indefinidas siguientes
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
f) [pic]
g) [pic]
h) [pic]
i) [pic]
j) [pic]
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
Existen técnicas para evaluar integrales indefinidas como las delejemplo 1
INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE
(U SUSTITUCIÓN)
Observemos que [pic] [pic]
Si [pic]
Sustituyendo las expresiones anteriores en [pic] obtenemos el resultado siguiente: [pic]
Para resolver[pic] se hace un cambio de la variable [pic] a la variable [pic] , para ello se hace [pic]
Ejemplo 3
Evaluar [pic]
Solución
[pic][pic]
Ejercicio 3:
a) Evaluar [pic]
b) Evaluar [pic]
c) Evaluar [pic]
d) Evaluar [pic]
e) [pic]
f) [pic]
g) [pic]
h) [pic]i) [pic]
INTEGRACION POR PARTES
Sea [pic] funciones diferenciables (derivables)
[pic]
La fórmula anterior es útil cuando [pic] es más fácil de calcular que [pic].
La clave de esta fórmula en una integración consiste en saber distinguir a quien llamarle “u” y a quien llamarle “dv”
Un recurso bastante útil es lafrase siguiente:
ILATE : Inversa Logarítmica Algebraica Trigonométrica Exponencial.
Nos da la pauta de a que expresión llamarle “u”
Ejemplo: [pic]
En este caso tenemos una algebraica: x y una exponencial [pic]. Entonces llamaremos [pic] a la algebraica (aparece primero en la frase ILATE)
Luego, si [pic] [pic], entonces dv es el resto, es decir,[pic]. De ahí que [pic]...
LA ANTIDERIVADA
El Concepto operativo de LA ANTIDERIVADA se basa en una operación contraria a la derivación.
Definición
Se dice que una función [pic]es una antiderivada de una función [pic]si [pic]en algún intervalo.
Ejemplo 1:
La antiderivada de [pic]
En general la antiderivada de la función [pic] es una familia de funciones que en el ejemploanterior está representada por [pic]donde [pic] es una constante cualquiera
Notación
La antiderivada de [pic] se representa por [pic] donde:
• Al símbolo [pic]se le llama símbolo de la integral
• A la expresión [pic] se le llama integral indefinida de [pic] con respeto a [pic]
• La función [pic] se denomina integrando.
• [pic] es eldiferencial de “x” e indica la variable respecto a la cual se integra.
• Al número [pic] se le llama constante de integración
El proceso de encontrar una antiderivada recibe el nombre de antidiferenciación o integración.
Recordemos que :[pic] , entonces [pic], luego [pic]
Al término [pic] se lee el diferencial de [pic].
Reglas para diferenciales
Si [pic] y [pic] entonces
[pic][pic]
[pic]
[pic]
Ejemplo 2:
Si [pic]entonces la [pic]
Ejercicio 1:
Verifique para cada unos de los problemas siguientes que la antiderivada o integral indefinida de [pic] es [pic]
a) [pic]
Solución
Observemos que:
[pic]
Por tanto: [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e)[pic]
f) [pic]
Propiedades de la integral indefinida
Si [pic], entonces
1. [pic]
2. [pic], para cualquier constante [pic]
Algunas antiderivadas básicas conocidas
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic]
9. [pic]
10. [pic]
11. [pic]
12. [pic]
13. [pic]
14. [pic]
15.[pic]
Ejercicio 2:
Evaluar cada una de las integrales indefinidas siguientes
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
f) [pic]
g) [pic]
h) [pic]
i) [pic]
j) [pic]
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
Existen técnicas para evaluar integrales indefinidas como las delejemplo 1
INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE
(U SUSTITUCIÓN)
Observemos que [pic] [pic]
Si [pic]
Sustituyendo las expresiones anteriores en [pic] obtenemos el resultado siguiente: [pic]
Para resolver[pic] se hace un cambio de la variable [pic] a la variable [pic] , para ello se hace [pic]
Ejemplo 3
Evaluar [pic]
Solución
[pic][pic]
Ejercicio 3:
a) Evaluar [pic]
b) Evaluar [pic]
c) Evaluar [pic]
d) Evaluar [pic]
e) [pic]
f) [pic]
g) [pic]
h) [pic]i) [pic]
INTEGRACION POR PARTES
Sea [pic] funciones diferenciables (derivables)
[pic]
La fórmula anterior es útil cuando [pic] es más fácil de calcular que [pic].
La clave de esta fórmula en una integración consiste en saber distinguir a quien llamarle “u” y a quien llamarle “dv”
Un recurso bastante útil es lafrase siguiente:
ILATE : Inversa Logarítmica Algebraica Trigonométrica Exponencial.
Nos da la pauta de a que expresión llamarle “u”
Ejemplo: [pic]
En este caso tenemos una algebraica: x y una exponencial [pic]. Entonces llamaremos [pic] a la algebraica (aparece primero en la frase ILATE)
Luego, si [pic] [pic], entonces dv es el resto, es decir,[pic]. De ahí que [pic]...
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