Integrales definidas

TEMA 3 Integral Definida
Subtemas: 3.1 Definición de Integral definida 3.2 Propiedades de la integral definida

Cálculo de Integrales Mediante la Suma de Riemann Fórmulas para la notación sigma: Si n es un número entero positivo, entonces I.II.III.-

 c  cn
i 1

n

donde c es una constante

i 
i 1
n

n

nn  1 2
 nn  12n  1 6
n 2 n  1 4
2

i
i 1

2IV.-

 i3 
i 1

n

V.-

i4 
i 1

n

nn  12n  1 3n 2  3n  1 30





Considerando la Figura siguiente, donde se pretende medir el área limitada por las funciones f x , x  a , x  b y el eje x ; se divide el área en un número infinito de intervalos como puede apreciarse

y

f x 

x0  a

xi

xn  b

x

Figura 3.1 División de una Región Plana enSubintervalos 3-1

La longitud de cada intervalo será

xi 

xn  x0 n

(3.1)

Donde n es el número de intervalos, entonces para cada xi

x1  x0  1  xi x2  x0  2  xi

x3  x0  3  xi


xn  x0  n  xi
Y en general

xi  x0  i  xi
El área de un subintervalo, considerándolo un rectángulo será

(3.2)

Ai  xi  f xi 

(3.3)

Donde xi representa labase y f xi  la altura; sumando los n subintervalos, se obtendrá el área de la superficie completa

A   Ai  lim  f xi   xi
i 1 n  i 1

n

n

(3.4)

El límite anterior expresado por la Ecuación (3.8) se le llama suma de Riemann Ejemplo: Calcule el área bajo la curva f x   10  x 2 , limitada por las rectas

x

1 , x  3 y el eje x . 4

Longitud del subintervaloxi 
De la Ecuación (3.2)

3

1 4  11 n 4n

xi 

1 11  i 4 4n

Por tanto aplicando la suma de Riemann

A  lim  f xi   xi
n  i 1

n

3-2

n  1 11  11 A  lim  f   i   n   4 4n  4n i 1

Evaluando la función
2   1 11   11 A  lim  10    i    n   4 4n   4n i 1    n

Desarrollando
n  22 121 2  11 1 A  lim  10    i i  2 n   16 16n 16n  4n i 1 
n 121 2  11 159 11 A  lim    i i  n  8n 16n 2  4n  i 1  16

A

 n 159 11 n 11 121 n 2  1 lim   i  i   4 n   i 1 16 8n i 1 16n 2 i 1  n

Sustituyendo las sumatorias por las expresiones revisadas anteriormente
A 11 159n 11 nn  1 121 nn  12n  1 1 lim       n 4 n   16 8n 2 16n 2 6  11 159 11 n  1 121 n 12n  1 lim       4 n   16 16 n 96 n2 

Simplificando
A

A
A

159 11  1  121 2n 2  3n  1  11 lim    1      4 n   16 16  n  96 n2 
159 11  1  121  11 3 1  lim    1      2   2  4 n   16 16  n  96  n n 
11 159 11 242  3553 2  16  16  96   192  18.5052 u 4 





Calculando el límite, se obtiene
A

u2 selee unidades cuadradas Ejemplo: Calcule el área bajo la curva f x   2 x  8 , limitada por las rectas
x  1 , x  3 y el eje x .

Procediendo como en el ejemplo anterior

xi 

3 1 2  n n

3-3

2 xi  1  i n
n  2  2 A  lim  f 1  i   n   n  n i 1

n   2   2 A  lim   21  i   8  n   n   n i 1 

n 4  2  A  lim  6  i   n  n  n i 1

n 4 n  1 A  2 lim  6   i   n  n i 1  n  i 1
4 nn  1 1  A  2 lim 6n    n  n 2  n  

Simplificando y aplicando el límite

n  1  2 lim 6  2  1  1   26  2  8 u2  A  2 lim 6  2    n  n   n     n  
Como puede apreciarse en ambos ejemplos es un procedimiento repetitivo en el que hay que aplicar conocimientos de todos sabido, comoes el concepto de límite y de un poco de álgebra, por ese motivo no se expondrán tantos ejemplos propuestos.

Problemas Propuestos 3.1 1.- Calcule el área mediante la suma de Riemann, del área bajo la curva

f x   2 x 2  2 x  1 , limitado por las rectas x  0 , x  2 y el eje x . Sol. 34/3
2.- Calcule el área mediante la suma de Riemann, del área bajo la curva

f x   x3  1 ,...