Integrales

Integral definida como suma: enfoque numéricoSi u es una función de x, podremos utilizar la próxima formula para evaluar una integral:Suma de RiemannSi f es una función continua, la suma izquierda deRiemann con n subdivisiones iguales para f sobre el intervalo [a, b] se define como sigue.Primero, se hace una partición del intervalo [a, b] en npartes iguales:Δx = (b-a)/n, 
x0 = a, 
x1 = a +Δx, 
x2 = a + 2Δx, 
... 
xn = a + nΔx = bLuego, se suma los n productos f(x0)Δx, f(x1)Δx, f(x2)Δx, ..., f(xn -1)Δx, para obtener la suma de Riemann.Entonces, Suma (izquierda) de Riemann | = | n-1

n= 0 | f(xk)Δx |
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| = | f(x0)Δx + f(x1)Δx + ... +f(xn -1)Δx |
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| = | [f(x0) + f(x1) + ... + f(xn-1)]Δx |
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La suma izquierda de Riemann da el área visto más abajo. | |

Sea P={x0,x1 ... xn} una partición de un intervalo [a, b] (con a = x0 < x1 < ... < xn = b). Llamamos suma de Riemann-Stieltjes a una suma de la forma
, con 
Simbolizamos esta suma como S(P, f, α).Decimos que f es Riemann-Stieltjes integrable respecto a α en el intervalo [a, b] si existe un número I tal que, para todo número real positivo ε existe una partición Pεque cumple con que para todapartición P más fina que Pε y para cualquier elección de los tk, tenemos |S(P, f, α) - I| < ε.
La conexión entre la integral de Riemann "estándar" y la integral de Riemann-Stieltjes se produce cuandola función integradora α(x) es la función identidad, es decir, α(x) = x.
La (*)-integral
Para definir la integral de Riemann utilizamos la norma de una partición, esta definición se puede ampliar aque sea parecida a la de Riemann-Stieltjes, esta integral se llama la (*)-integral (que de hecho esta es la definición que originalmente propuso Stieltjes, y que luego Pollard, propondría la queactualmente usamos, la que está arriba):
Una función f acotada definida en un intervalo [a, b] se dice que es (*)-integrable con respecto a α en [a, b] si existe un número I en los reales tal que, para...