Integrales
Resuelve las siguientes integrales.
∫▒cos〖mx dx〗
u=mx du=mxdx dx=du/m
∫▒cos〖u du/m=1/m 〗
∫▒cos〖u du=1/m sen mx+c=〗
(sen mx)/m+c
∫▒tan〖bx dx〗
∫▒〖(sen bx)/cosbx 〗
u=cos〖bx 〗 du=-sen bxb
dx=(-du)/(b sen bx)
∫▒(sen bx)/u (du/(-b sen bx))=
-1/b ∫▒〖du/u=-1/b ln〖u+c〗 〗=
-1/b lncos〖bx+c=ln〖1-1/b lncos〖bx+c〗 〗 〗
(bln〖1-lncos〖bx+c〗 〗)/b=lnsec〖bx+c〗 /b
∫▒sec〖ax dx〗
u=ax du=a dx dx=du/a
∫▒sec〖u(du/a)=1/a ∫▒sec〖u du=〗 〗
1/a ln〖|sec〖u+tanu 〗 |+c=〗
1/a ln〖|sec〖ax+tanax 〗 |+c〗
∫▒csc〖u du〗
u=csc〖x x=arc csc〖u dx=〗 〗 (-du)/(u√(u^2-1))
∫▒〖(-u du)/(u√(u^2-1))=∫▒(-du)/√(u^2-1)〗=
-∫▒du/√(u^2-1)=-ln(u+√(u^2-1)+c)
=-ln〖(csc〖x+cotx 〗 )+c=〗
ln〖(csc〖x-cotx 〗 )+c〗
∫▒sec〖3ttan〖3t dt〗 〗
u=3t du=3dt dt=du/3
1/3 ∫▒〖sec u tan〖u du〗 〗= sec3t/3+c
∫▒csc〖ay cot〖ay dy〗 〗
u=ay du=a dy dy=du/a
1/a ∫▒csc〖u cot〖u du=1/a (-cscu )+c〗 〗 =
-1/a csc〖ay+c〗
∫▒〖〖csc 〗^2 3x dx〗
1/3 ∫▒csc〖u^2 du=1/3 (-cotu )+c=〗
-1/3 cot〖3x+c〗
∫▒cot〖x/2 dx〗
u=x/2 du=dx/2 dx=2du
2∫▒〖cot〖u 〗 du=2 ln〖|sen u|+c=〗 〗
2 ln|sen x/2|+c
∫▒x^2 〖sec〗^2 x^(3) dx
u=x^3 du=〖3x〗^2 dx dx=du/〖3x〗^2
∫▒(〖x^2 sec〗^2 u du)/〖3x〗^2 =∫▒(sec^2 u du)/3=
tanu/3+c=tan〖x^3 〗/3+c
∫▒dx/(〖sen〗^2 x)
=∫▒〖1/(sen^2 x) dx=∫▒〖csc^2 x〗〗 dx=
∫▒〖csc^2 x dx=-cot〖x+c〗 〗
∫▒ds/(〖cos〗^2 s)
=∫▒〖1/(cos^2 s) ds=∫▒〖sec^2 s〗〗 ds=tan〖s+c〗
∫▒〖(tan〖θ+cotθ 〗 )^2 dθ〗
∫▒〖(tan^2 θ+2 〖tan θ cot〗〖θ+cot^2 θ〗 )dθ=〗
∫▒〖tan^2 θ dθ+2∫▒〖dθ+∫▒〖cot^2 θ dθ=〗〗〗∫▒〖sec^2 θ dθ-∫▒〖dθ+2∫▒〖dθ+∫▒〖csc^2 θdθ〗〗〗〗
=tan〖θ-cot〖θ+c〗 〗
∫▒〖(sec〖θ-tanθ 〗 )^2 dθ〗
∫▒〖(sec^2 θ-2〗 sec〖θ tan〖θ+tan^2 θ〗 〗) dθ=
∫▒〖sec^2 θdθ-2∫▒sec〖θ tan〖θdθ+∫▒〖tan^2 θ〗〗 〗 〗 dθ
=2(tan〖θ+secθ 〗 )+θ+c
∫▒dx/(1+cosx )
∫▒(1/(1+cosx ))((1-cosx)/(1-cosx )) dx=
∫▒〖1/(sen^2 x) dx-∫▒cos〖x cot〖x dx=〗 〗 〗
∫▒〖cos^2 x dx-∫▒cos〖x cot〖x dx=〗 〗 〗
cot〖x+cos〖x+c〗 〗
∫▒dx/(1 +sen x)
∫▒〖1/(1+sen x) ((1-sen x)/(1-sen x))=∫▒(1-sen x)/(1-sen^(2 x) )〗
∫▒(1-sen x)/(cos^2 x)=∫▒〖sec^2 x dx-∫▒(sen dx)/(cos^2 x)〗
∫▒〖sec^2 x dx-∫▒sec〖x tan〖x dx=〗 〗 〗
tan〖x+sec〖x+c〗 〗
∫▒(sen s ds)/(1+coss )
u=1+cos〖s du=-sen s ds ds=du/(-sen s)〗
∫▒〖(sen s)/u (du/(-sen s))=∫▒〖-du/u=-ln〖|u|+c=〗 〗〗
-ln〖|1+coss |+c〗
∫▒(〖sec〗^2 x dx)/(1+〖 tan〗x )
u=1+tan〖xdu=sec^2 x dx dx=du/(sec^2 x)〗
∫▒〖(sec^2 x)/u (du/(sec^2 x)) 〗=∫▒du/u=ln〖|u|+c=〗
ln〖|1+tanx |+c=〗
∫▒〖x sen x dx〗
u=x^2 du=2x dx dx=du/2x
∫▒〖x sen u(du/2x)=1/2 ∫▒〖sen u du=〗〗
1/2 (-cosu )+c=-1/2 cos〖x^2+c=〗
-1/2 cos^2 x+c
∫▒(x+sen 2x)dx
∫▒〖x dx+∫▒〖sen 2x dx=〗〗
x^2/2+∫▒〖sen 2x dx〗=x^2/2-(cos2x )+c
1/2 (x^2-cos2x )+c
∫▒(sen dx)/√(4-cosx )
u=4-cos〖x du=sen x dxdx=du/(sen x)〗
∫▒〖(sen x)/√u (du/(sen x))=∫▒〖du/√u=∫▒〖u^(-1/2) 〗 du=〗〗
u^(-1/2+1)/(-1/2+1)=2〖 u〗^(1/2)=2√u=
2√(4-cosx )+c
∫▒((1+cosx ) dx)/(x+sen x)
u=x+sen x du=(1+cosx )dx
dx=du/(1+cosx )
∫▒〖(1+cosx)/u (du/(1+cosx )) 〗=du/u
ln|u|+c=
ln〖|x+sen x|+c〗
∫▒(〖sec〗^2 θ dθ)/√(1+2 tanθ )
u=1+2tanθ du=2 sec^2 θ dθ
dθ=du/(2 sec^2 θ)
∫▒(sec^2 θ)/√u (du/(2 sec^2 θ))=1/2 ∫▒du/u=1/2 ∫▒u^(-1/2) du=
1/2 (u^(-1/2+1)/(-1/2+1))=1/2 (2 u^(1/2) )=
√(1+2 tanθ )+c
∫▒〖sen 2x/3 dx〗
u=2x/3 du=(2 dx)/3 dx=3du/2
∫▒〖sen u (3 du/2)=3/2 ∫▒〖sen u du〗〗
3/2 (-cosu )+c=-3/2 cos〖2x/3+c〗
∫▒cos(b+ax) dx
u=b+ax du=a dx dx=du/a
∫▒cosu (du/a)=1/a ∫▒cos〖u du=〗
1/a sen u+c=1/a sen (b+ax)+c
∫▒〖〖csc〗^2 (a-bx) 〗 dx
u=a-bx du=-b dx dx=-du/b∫▒〖csc^2 u(-du/b)=-1/b ∫▒〖csc^2 u du=〗〗
-1/b 〖 tan〗〖u+c=〗-1/b tan〖(a-bx)+c〗=
-tan(a-bx)/b+c
∫▒sec〖θ/2〗 tan〖θ/2〗 dθ
u=θ/2 dθ=2 du
∫▒sec〖u tan〖u (2 du)〗 〗 =
2∫▒sec〖u tan〖u du〗 〗 =2sec〖u+c=〗
2 sec〖θ/2+c〗
∫▒csc〖aθ/b〗 cot〖aθ/b〗 dθ
u=aθ/b du=a dθ/b dθ=b du/a
∫▒csc〖u cot〖u 〗 〗 du (b du/a)=
b/a ∫▒csc〖u 〗 cotu du=b/a (-cscu...
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