Integrales

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Resuelve las siguientes integrales.

∫▒cos⁡〖mx dx〗
u=mx du=mxdx dx=du/m

∫▒cos⁡〖u du/m=1/m 〗

∫▒cos⁡〖u du=1/m sen mx+c=〗

(sen mx)/m+c

∫▒tan⁡〖bx dx〗

∫▒〖(sen bx)/cos⁡bx 〗
u=cos⁡〖bx 〗 du=-sen bxb
dx=(-du)/(b sen bx)

∫▒(sen bx)/u (du/(-b sen bx))=

-1/b ∫▒〖du/u=-1/b ln⁡〖u+c〗 〗=

-1/b ln⁡cos⁡〖bx+c=ln⁡〖1-1/b ln⁡cos⁡〖bx+c〗 〗 〗

(bln⁡〖1-ln⁡cos⁡〖bx+c〗 〗)/b=ln⁡sec⁡〖bx+c〗 /b

∫▒sec⁡〖ax dx〗
u=ax du=a dx dx=du/a

∫▒sec⁡〖u(du/a)=1/a ∫▒sec⁡〖u du=〗 〗
1/a ln⁡〖|sec⁡〖u+tan⁡u 〗 |+c=〗
1/a ln⁡〖|sec⁡〖ax+tan⁡ax 〗 |+c〗

∫▒csc⁡〖u du〗
u=csc⁡〖x x=arc csc⁡〖u dx=〗 〗 (-du)/(u√(u^2-1))
∫▒〖(-u du)/(u√(u^2-1))=∫▒(-du)/√(u^2-1)〗=
-∫▒du/√(u^2-1)=-ln⁡(u+√(u^2-1)+c)

=-ln⁡〖(csc⁡〖x+cot⁡x 〗 )+c=〗

ln⁡〖(csc⁡〖x-cot⁡x 〗 )+c〗

∫▒sec⁡〖3ttan⁡〖3t dt〗 〗
u=3t du=3dt dt=du/3

1/3 ∫▒〖sec u tan⁡〖u du〗 〗= sec⁡3t/3+c

∫▒csc⁡〖ay cot⁡〖ay dy〗 〗
u=ay du=a dy dy=du/a
1/a ∫▒csc⁡〖u cot⁡〖u du=1/a (-csc⁡u )+c〗 〗 =
-1/a csc⁡〖ay+c〗

∫▒〖〖csc 〗^2 3x dx〗
1/3 ∫▒csc⁡〖u^2 du=1/3 (-cot⁡u )+c=〗
-1/3 cot⁡〖3x+c〗

∫▒cot⁡〖x/2 dx〗
u=x/2 du=dx/2 dx=2du
2∫▒〖cot⁡〖u 〗 du=2 ln⁡〖|sen u|+c=〗 〗
2 ln⁡|sen x/2|+c

∫▒x^2 〖sec〗^2 x^(3) dx
u=x^3 du=〖3x〗^2 dx dx=du/〖3x〗^2
∫▒(〖x^2 sec〗^2 u du)/〖3x〗^2 =∫▒(sec^2 u du)/3=
tan⁡u/3+c=tan⁡〖x^3 〗/3+c

∫▒dx/(〖sen〗^2 x)

=∫▒〖1/(sen^2 x) dx=∫▒〖csc^2 x〗〗 dx=
∫▒〖csc^2 x dx=-cot⁡〖x+c〗 〗

∫▒ds/(〖cos〗^2 s)
=∫▒〖1/(cos^2 s) ds=∫▒〖sec^2 s〗〗 ds=tan⁡〖s+c〗

∫▒〖(tan⁡〖θ+cot⁡θ 〗 )^2 dθ〗
∫▒〖(tan^2 θ+2 〖tan θ cot〗⁡〖θ+cot^2 θ〗 )dθ=〗
∫▒〖tan^2 θ dθ+2∫▒〖dθ+∫▒〖cot^2 θ dθ=〗〗〗∫▒〖sec^2 θ dθ-∫▒〖dθ+2∫▒〖dθ+∫▒〖csc^2 θdθ〗〗〗〗
=tan⁡〖θ-cot⁡〖θ+c〗 〗

∫▒〖(sec⁡〖θ-tan⁡θ 〗 )^2 dθ〗
∫▒〖(sec^2 θ-2〗 sec⁡〖θ tan⁡〖θ+tan^2 θ〗 〗) dθ=
∫▒〖sec^2 θdθ-2∫▒sec⁡〖θ tan⁡〖θdθ+∫▒〖tan^2 θ〗〗 〗 〗 dθ
=2(tan⁡〖θ+sec⁡θ 〗 )+θ+c

∫▒dx/(1+cos⁡x )
∫▒(1/(1+cos⁡x ))((1-cos⁡x)/(1-cos⁡x )) dx=
∫▒〖1/(sen^2 x) dx-∫▒cos⁡〖x cot⁡〖x dx=〗 〗 〗
∫▒〖cos^2 x dx-∫▒cos⁡〖x cot⁡〖x dx=〗 〗 〗
cot⁡〖x+cos⁡〖x+c〗 〗

∫▒dx/(1 +sen x)
∫▒〖1/(1+sen x) ((1-sen x)/(1-sen x))=∫▒(1-sen x)/(1-sen^(2 x) )〗

∫▒(1-sen x)/(cos^2 x)=∫▒〖sec^2 x dx-∫▒(sen dx)/(cos^2 x)〗

∫▒〖sec^2 x dx-∫▒sec⁡〖x tan⁡〖x dx=〗 〗 〗
tan⁡〖x+sec⁡〖x+c〗 〗

∫▒(sen s ds)/(1+cos⁡s )
u=1+cos⁡〖s du=-sen s ds ds=du/(-sen s)〗
∫▒〖(sen s)/u (du/(-sen s))=∫▒〖-du/u=-ln⁡〖|u|+c=〗 〗〗

-ln⁡〖|1+cos⁡s |+c〗

∫▒(〖sec〗^2 x dx)/(1+〖 tan〗⁡x )
u=1+tan⁡〖xdu=sec^2 x dx dx=du/(sec^2 x)〗
∫▒〖(sec^2 x)/u (du/(sec^2 x)) 〗=∫▒du/u=ln⁡〖|u|+c=〗

ln⁡〖|1+tan⁡x |+c=〗

∫▒〖x sen x dx〗
u=x^2 du=2x dx dx=du/2x
∫▒〖x sen u(du/2x)=1/2 ∫▒〖sen u du=〗〗
1/2 (-cos⁡u )+c=-1/2 cos⁡〖x^2+c=〗
-1/2 cos^2 x+c

∫▒(x+sen 2x)dx
∫▒〖x dx+∫▒〖sen 2x dx=〗〗
x^2/2+∫▒〖sen 2x dx〗=x^2/2-(cos⁡2x )+c
1/2 (x^2-cos⁡2x )+c
∫▒(sen dx)/√(4-cos⁡x )
u=4-cos⁡〖x du=sen x dxdx=du/(sen x)〗
∫▒〖(sen x)/√u (du/(sen x))=∫▒〖du/√u=∫▒〖u^(-1/2) 〗 du=〗〗
u^(-1/2+1)/(-1/2+1)=2〖 u〗^(1/2)=2√u=
2√(4-cos⁡x )+c

∫▒((1+cos⁡x ) dx)/(x+sen x)

u=x+sen x du=(1+cos⁡x )dx
dx=du/(1+cos⁡x )
∫▒〖(1+cos⁡x)/u (du/(1+cos⁡x )) 〗=du/u
ln⁡|u|+c=
ln⁡〖|x+sen x|+c〗

∫▒(〖sec〗^2 θ dθ)/√(1+2 tan⁡θ )
u=1+2tan⁡θ du=2 sec^2 θ dθ
dθ=du/(2 sec^2 θ)

∫▒(sec^2 θ)/√u (du/(2 sec^2 θ))=1/2 ∫▒du/u=1/2 ∫▒u^(-1/2) du=
1/2 (u^(-1/2+1)/(-1/2+1))=1/2 (2 u^(1/2) )=
√(1+2 tan⁡θ )+c

∫▒〖sen 2x/3 dx〗
u=2x/3 du=(2 dx)/3 dx=3du/2
∫▒〖sen u (3 du/2)=3/2 ∫▒〖sen u du〗〗
3/2 (-cos⁡u )+c=-3/2 cos⁡〖2x/3+c〗
∫▒cos⁡(b+ax) dx
u=b+ax du=a dx dx=du/a
∫▒cos⁡u (du/a)=1/a ∫▒cos⁡〖u du=〗
1/a sen u+c=1/a sen (b+ax)+c

∫▒〖〖csc〗^2 (a-bx) 〗 dx
u=a-bx du=-b dx dx=-du/b∫▒〖csc^2 u(-du/b)=-1/b ∫▒〖csc^2 u du=〗〗
-1/b 〖 tan〗⁡〖u+c=〗-1/b tan⁡〖(a-bx)+c〗=
-tan⁡(a-bx)/b+c

∫▒sec⁡〖θ/2〗 tan⁡〖θ/2〗 dθ
u=θ/2 dθ=2 du
∫▒sec⁡〖u tan⁡〖u (2 du)〗 〗 =
2∫▒sec⁡〖u tan⁡〖u du〗 〗 =2sec⁡〖u+c=〗
2 sec⁡〖θ/2+c〗

∫▒csc⁡〖aθ/b〗 cot⁡〖aθ/b〗 dθ
u=aθ/b du=a dθ/b dθ=b du/a
∫▒csc⁡〖u cot⁡〖u 〗 〗 du (b du/a)=

b/a ∫▒csc⁡〖u 〗 cot⁡u du=b/a (-csc⁡u...
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