Integrales

Universidad Fermin Toro
Vice-rectorado académico
Facultad de Ingenieria

Cabudare, octubre de 2010
1-) notacion sigma: Si F es una función de Z en R y m y n dos enteros, tales que m<=n; entonces:

n
Σ
I=m f(o)= f (m) + f (m+1) + f (m +2)+…….+ f (m-1) + f(m)
Donde m es el limmite inferior de la sumatoria y n es el limite superior de la sumatoria y la letra i indicael índice de la sumatoria.
Ej:
4
Σ (i + 1) ² = (1+1) ² + (2+1) ² + (3+1) ² + (4+1)
I = 1 = 2²+ 3² + 4² + 5² = 4+9+16+25
=54

Teorema:


m-c
1- Σ f(i) = Σ f(i+c)
i=m i=m-c

n n+c
2- Σ f(i) = Σ f(i-c)
i(m) i= m+cej:
8 8-3 5
Σ I= Σ ( i+3) = Σ ( i+3)
I=4 I = 4-3 I = 1

Torema:
1-) n
Σ c= m.c
i= m

2-) n n
Σ C f (i) = c Σ f (i)
I =m I = i
3-) n n nΣ [ f(i) +- g(i)] = Σ f (k) +- Σ g (k)
I= m k= m k= m

Propiedades telescopicas:
Primera: n
Σ
I= m [ (I + 1)- f (i)] = f( m+1) – f (m)

Segunda:
n
Σ [ f(i) – f (i-1)] = f (m) – f (m-1)
I =m




Ej:10
Σ ( 3 ̂ i – 3 ̂ i – 1) = 3 ̂ 10 – 3 ̂ 1-1 = 3 ̂ 10 – 3° = 3 ̂ 10 – 1
I = 1

1-) n
Σ i = n (n+1)/2
I = 1

2-) n
Σ i²= n (n+1) (2n+1)/6
I=1

3-) n
Σ i ³= (n(n+1)/2) ²
I=1

4-) n
Σ i^4= n(n+1)(6n³+ 9n²+ n -1)/30
I=1

Ej:
4 4 44 4
Σ (3i + 2i²)= Σ 3i + Σ 2i ² = 3 Σ i + 2 Σ i²=
I=1 i=1 i=1 i=1 i=1

3. 4 (4+1)/2+ 2.4 (4+1) (2.4+1)/6= 3.4.5/2 + 2.4.5.9/6= 30+ 60= 90


2.) Suma superior e inferior
- Área bajo una curva.
Sea f: [a,b] → R una función continua y no negativa. Sea Q la región del plano encerrada por el grafico de f, el eje Xy las rectas verticales X=a y X=b, Graficamente es:

a b
* Area con rectángulos inscritos (suma superior)

Se divide el intervalo [a,b] en “m” sub-intervalos de igual longitud. Denotaremos ∆X esta longitud.

∆X= b – a
m

Con rectángulos Inscritos

∆X

X1 X2 X3 X4

a b
Si Sm esla suma de las áreas de los N angulos inscritos, entonces:

n
Sm= ∑ f (mi) ∆X Donde mi = Xi – 1
i=1

y Sm ≤ A (Q) debido a los pequeños pedazos que quedan fuera de los intervalos.

A(Q) = lim Sm = lim ∑ f (mi) ∆X

* Area con rectángulos circunscritos (suma superior).



X1 X2X3 X4

a b

n
Sm = ∑ f(mi) ∆X
i=1

Donde Sm es la suma de las áreas de los “n” rectángulos la llamaremos suma superior.

n
A(Q) = lim Sm = lim ∑ f(Mi) ∆X

Hallar el area de la region Q encerrada por el grafico de f(x) = X³ del eje X, y las rectas X=0 y X=3.

Sol

∆X = 3 – 0 = 3
m m

Xo = a =1
X1= Xo+∆X = 0+3
m
∆X
X2 = X1+∆X = 0 + 3/m + 3/m X1 X2 X3 X4
= 0 + 2 (3/m)
X3 = X2 +∆X = 0+2 (3/m) + 3/m Rectángulos Inscritos

=0 + 2 (3/m)

Xi= Xi – 1 + ∆X = 1 + i (3/m)

m1 = Xo = 0
m2 = X1 = 0 +...