Integrales

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INTEGRALES DOBLES: EJERCICIOS RESUELTOS 
1. Evaluar:  a)  6 4     b)  6 4      c)  sin  

Solución:  a) 6 14   b) 6   c) sin cos     2. Calcular la integral:  Solución:  En primer lugar, integramos la integral interna:  2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 3 2 2 1 2 1  2 2   sin   cos cos 6 6 4 4 ln 4 ln 2 4 2 7 6 6 ln 4   6 6 4 6 24   4 6 4 ln 2 ln 1 4 6 4 ln 2Consecuentemente obtenemos:  2 2 2     2 2 3 1 2 1 1 1 2 1 3 

3. Usar  una  integral  iterada  para  hallar  el  área  de  la  región  limitada  por  las  gráficas  ⁄4 y  sin  y  cos  entre  5 ⁄4.  Solución:  Para hallar el área A de una región plana R usando una integral iterada hay que tener en  cuenta que:   

En  primer  lugar,  representamos  las  gráficas  que  limitan  la  región  R  cuya  área queremos  hallar: 

  En segundo lugar, y fijándonos en la región que hemos obtenido, establecemos los límites  de integración:   Antes calculamos los puntos de corte de ambas gráficas:  sin cos ⁄4 ,   0 

Consecuentemente,  los  puntos  de  corte  son  podemos establecer los límites de integración:  ⁄4 cos En tercer lugar, planteamos la integral iterada: 
⁄ ⁄

⁄4 , √2⁄2    y  5 ⁄4 , √2⁄2 .  Ahora ya 

5 ⁄4  sin  

 

Por último, resolvemos la integral iterada:  sin
⁄ ⁄ ⁄ ⁄

cos  

sin cos √2 2   sin √2 2
⁄ ⁄

cos 4 sin √2 2 4 √2 cos 5 4 √2 sin 5 4  

cos √2 2

2√2 

4. Hallar  el  área  de  la  región  R  situada  bajo  la  parábola  3 6 6.  Solución:  Para hallar el área A de la región R usamos la integral iterada: 

4

,  sobre  la  recta 

 

En  primer lugar,  representamos  las  gráficas  que  limitan  la  región  R  cuya  área  queremos  hallar: 

  En segundo lugar, y fijándonos en la región que hemos obtenido, establecemos los límites  de integración:  

Antes calculamos los puntos de corte de ambas gráficas. Para ello resolvemos el sistema  de ecuaciones correspondiente:  4 3 6 4 7 3 7 2·1 6 7 4·1·6 6 0 1 6 1,3   6, 12Ahora ya podemos establecer los límites de integración:  1 3 6 6  4  

En tercer lugar, planteamos la integral iterada:    Por último, resolvemos la integral iterada:  4 3 6 7 6 

7 6 3   7 6 2

6 6·6

3 1 3

7

2 7 1 2

6 6·1 125 6  

5. Calcular el área de la región R del plano  ⁄2 e  4.  Solución: 

 limitada por las dos parábolas de ecuaciones   Para hallar el área A de la región R usamos la integral iterada: 

 

En  primer  lugar,  representamos  las  gráficas  que  limitan  la  región  R  cuya  área  queremos  hallar (ver la figura de la página siguiente).  En segundo lugar, y fijándonos en la región que hemos obtenido, establecemos los límites  de integración:   Antes calculamos los puntos de corte de ambas gráficas. Para ello resolvemos el sistema  de ecuaciones correspondiente:  ⁄2 42 4 2 8 8 

 
2.5 y2=x/2 y2=x-4

2

1.5

1

0.5

0

y

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

0

1

2

3

4

5 x

6

7

8

9

10

 

Por lo tanto,  8⁄2 4 √4 2 2,8   2,8

Ahora ya podemos establecer los límites de integración:  2 2 En tercer lugar, planteamos la integral iterada:    Por último, resolvemos la integral iterada:  4 2 4  2  4 

4 2 3   4·23 2 3

4 4· 2 32 3  

6. Calcular:  Solución: 

4

2

 siendo   la región dada por 0

1, 0

1. 

En  primer  lugar,  representamos  las  gráficas  que  limitan  la  región  R.  En  este  caso,  hay  que  dibujar las rectas  0,  1,  0 e  1. Obtenemos así un cuadrado de lado unidad.  En segundo lugar, y fijándonos en la región que hemos obtenido, establecemos los límites de integración. En este caso, en el enunciado ya se nos da los límites de integración:   0 0 En tercer lugar, planteamos la integral iterada:  a) Orden de integración  4 b) Orden de integración  4   2   2 :  4 2   :  4 2   1  1 

Por último, resolvemos la integral iterada:  a) Orden de integración  4 2 4   :  3 11 3   :  4 10 3   2 3 10 3 4 10 3 2 3 1 3 10 3 0   2 2 4 11 3 1 3 2 2 0 11...
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