Integrales
Páginas: 15 (3743 palabras)
Publicado: 6 de junio de 2011
INTEGRALES DOBLES: EJERCICIOS RESUELTOS
1. Evaluar: a) 6 4 b) 6 4 c) sin
Solución: a) 6 14 b) 6 c) sin cos 2. Calcular la integral: Solución: En primer lugar, integramos la integral interna: 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 3 2 2 1 2 1 2 2 sin cos cos 6 6 4 4 ln 4 ln 2 4 2 7 6 6 ln 4 6 6 4 6 24 4 6 4 ln 2 ln 1 4 6 4 ln 2Consecuentemente obtenemos: 2 2 2 2 2 3 1 2 1 1 1 2 1 3
3. Usar una integral iterada para hallar el área de la región limitada por las gráficas ⁄4 y sin y cos entre 5 ⁄4. Solución: Para hallar el área A de una región plana R usando una integral iterada hay que tener en cuenta que:
En primer lugar, representamos las gráficas que limitan la región R cuya área queremos hallar:
En segundo lugar, y fijándonos en la región que hemos obtenido, establecemos los límites de integración: Antes calculamos los puntos de corte de ambas gráficas: sin cos ⁄4 , 0
Consecuentemente, los puntos de corte son podemos establecer los límites de integración: ⁄4 cos En tercer lugar, planteamos la integral iterada:
⁄ ⁄
⁄4 , √2⁄2 y 5 ⁄4 , √2⁄2 . Ahora ya
5 ⁄4 sin
Por último, resolvemos la integral iterada: sin
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
cos
sin cos √2 2 sin √2 2
⁄ ⁄
cos 4 sin √2 2 4 √2 cos 5 4 √2 sin 5 4
cos √2 2
2√2
4. Hallar el área de la región R situada bajo la parábola 3 6 6. Solución: Para hallar el área A de la región R usamos la integral iterada:
4
, sobre la recta
En primer lugar, representamos las gráficas que limitan la región R cuya área queremos hallar:
En segundo lugar, y fijándonos en la región que hemos obtenido, establecemos los límites de integración:
Antes calculamos los puntos de corte de ambas gráficas. Para ello resolvemos el sistema de ecuaciones correspondiente: 4 3 6 4 7 3 7 2·1 6 7 4·1·6 6 0 1 6 1,3 6, 12Ahora ya podemos establecer los límites de integración: 1 3 6 6 4
En tercer lugar, planteamos la integral iterada: Por último, resolvemos la integral iterada: 4 3 6 7 6
7 6 3 7 6 2
6 6·6
3 1 3
7
2 7 1 2
6 6·1 125 6
5. Calcular el área de la región R del plano ⁄2 e 4. Solución:
limitada por las dos parábolas de ecuaciones Para hallar el área A de la región R usamos la integral iterada:
En primer lugar, representamos las gráficas que limitan la región R cuya área queremos hallar (ver la figura de la página siguiente). En segundo lugar, y fijándonos en la región que hemos obtenido, establecemos los límites de integración: Antes calculamos los puntos de corte de ambas gráficas. Para ello resolvemos el sistema de ecuaciones correspondiente: ⁄2 42 4 2 8 8
2.5 y2=x/2 y2=x-4
2
1.5
1
0.5
0
y
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
0
1
2
3
4
5 x
6
7
8
9
10
Por lo tanto, 8⁄2 4 √4 2 2,8 2,8
Ahora ya podemos establecer los límites de integración: 2 2 En tercer lugar, planteamos la integral iterada: Por último, resolvemos la integral iterada: 4 2 4 2 4
4 2 3 4·23 2 3
4 4· 2 32 3
6. Calcular: Solución:
4
2
siendo la región dada por 0
1, 0
1.
En primer lugar, representamos las gráficas que limitan la región R. En este caso, hay que dibujar las rectas 0, 1, 0 e 1. Obtenemos así un cuadrado de lado unidad. En segundo lugar, y fijándonos en la región que hemos obtenido, establecemos los límites de integración. En este caso, en el enunciado ya se nos da los límites de integración: 0 0 En tercer lugar, planteamos la integral iterada: a) Orden de integración 4 b) Orden de integración 4 2 2 : 4 2 : 4 2 1 1
Por último, resolvemos la integral iterada: a) Orden de integración 4 2 4 : 3 11 3 : 4 10 3 2 3 10 3 4 10 3 2 3 1 3 10 3 0 2 2 4 11 3 1 3 2 2 0 11...
1. Evaluar: a) 6 4 b) 6 4 c) sin
Solución: a) 6 14 b) 6 c) sin cos 2. Calcular la integral: Solución: En primer lugar, integramos la integral interna: 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 3 2 2 1 2 1 2 2 sin cos cos 6 6 4 4 ln 4 ln 2 4 2 7 6 6 ln 4 6 6 4 6 24 4 6 4 ln 2 ln 1 4 6 4 ln 2Consecuentemente obtenemos: 2 2 2 2 2 3 1 2 1 1 1 2 1 3
3. Usar una integral iterada para hallar el área de la región limitada por las gráficas ⁄4 y sin y cos entre 5 ⁄4. Solución: Para hallar el área A de una región plana R usando una integral iterada hay que tener en cuenta que:
En primer lugar, representamos las gráficas que limitan la región R cuya área queremos hallar:
En segundo lugar, y fijándonos en la región que hemos obtenido, establecemos los límites de integración: Antes calculamos los puntos de corte de ambas gráficas: sin cos ⁄4 , 0
Consecuentemente, los puntos de corte son podemos establecer los límites de integración: ⁄4 cos En tercer lugar, planteamos la integral iterada:
⁄ ⁄
⁄4 , √2⁄2 y 5 ⁄4 , √2⁄2 . Ahora ya
5 ⁄4 sin
Por último, resolvemos la integral iterada: sin
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
cos
sin cos √2 2 sin √2 2
⁄ ⁄
cos 4 sin √2 2 4 √2 cos 5 4 √2 sin 5 4
cos √2 2
2√2
4. Hallar el área de la región R situada bajo la parábola 3 6 6. Solución: Para hallar el área A de la región R usamos la integral iterada:
4
, sobre la recta
En primer lugar, representamos las gráficas que limitan la región R cuya área queremos hallar:
En segundo lugar, y fijándonos en la región que hemos obtenido, establecemos los límites de integración:
Antes calculamos los puntos de corte de ambas gráficas. Para ello resolvemos el sistema de ecuaciones correspondiente: 4 3 6 4 7 3 7 2·1 6 7 4·1·6 6 0 1 6 1,3 6, 12Ahora ya podemos establecer los límites de integración: 1 3 6 6 4
En tercer lugar, planteamos la integral iterada: Por último, resolvemos la integral iterada: 4 3 6 7 6
7 6 3 7 6 2
6 6·6
3 1 3
7
2 7 1 2
6 6·1 125 6
5. Calcular el área de la región R del plano ⁄2 e 4. Solución:
limitada por las dos parábolas de ecuaciones Para hallar el área A de la región R usamos la integral iterada:
En primer lugar, representamos las gráficas que limitan la región R cuya área queremos hallar (ver la figura de la página siguiente). En segundo lugar, y fijándonos en la región que hemos obtenido, establecemos los límites de integración: Antes calculamos los puntos de corte de ambas gráficas. Para ello resolvemos el sistema de ecuaciones correspondiente: ⁄2 42 4 2 8 8
2.5 y2=x/2 y2=x-4
2
1.5
1
0.5
0
y
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
0
1
2
3
4
5 x
6
7
8
9
10
Por lo tanto, 8⁄2 4 √4 2 2,8 2,8
Ahora ya podemos establecer los límites de integración: 2 2 En tercer lugar, planteamos la integral iterada: Por último, resolvemos la integral iterada: 4 2 4 2 4
4 2 3 4·23 2 3
4 4· 2 32 3
6. Calcular: Solución:
4
2
siendo la región dada por 0
1, 0
1.
En primer lugar, representamos las gráficas que limitan la región R. En este caso, hay que dibujar las rectas 0, 1, 0 e 1. Obtenemos así un cuadrado de lado unidad. En segundo lugar, y fijándonos en la región que hemos obtenido, establecemos los límites de integración. En este caso, en el enunciado ya se nos da los límites de integración: 0 0 En tercer lugar, planteamos la integral iterada: a) Orden de integración 4 b) Orden de integración 4 2 2 : 4 2 : 4 2 1 1
Por último, resolvemos la integral iterada: a) Orden de integración 4 2 4 : 3 11 3 : 4 10 3 2 3 10 3 4 10 3 2 3 1 3 10 3 0 2 2 4 11 3 1 3 2 2 0 11...
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