Intervalo de confianza para la proporción

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PRPORCION
La estimación de proporciones
La información a la que regularmente se tiene acceso para estimar la proporción de una población (un porcentaje o una probabilidad) es una proporción de la muestra xn, donde x es el número de veces que en un evento ha ocurrido en n intentos.
A lo largo de esta sección supondremos que las situaciones satisfacen (por lomenos aproximadamente) las condiciones subyacentes e la distribución binomial: es decir nuestra información consistirá en el número de éxitos observados en un número dado de intentos independientes y supondremos que para cada intento la probabilidad de un éxito (el parámetro que queremos estimar) tiene el valor constante p. Así la distribución muestral de los conteos sobre los cuales se basarannuestros métodos es la distribución muestral de los conteos sobre los cuales se basaran nuestros métodos es la distribución binomial con la media μ=np y la desviación estándar σ=np(1-p), sabemos que se puede obtener una aproximación de esta distribución con una distribución normal cuando tanto np como n (1-p) son mayores 5.
Por lo general esto implica que n sea grande. Por ejemplo, para n=50 podemosusar los métodos de curva normal, en tanto que 50p>5y 501-p>5; específicamente, mientras que p caiga entre 0.10 y 0.90. De manera similar, para n= 100 se pueden usar estos métodos en tanto que p caiga entre 0.05 y 0.95 y para n=200 mientras que p caiga entre 0.025 y 0.975.
Ahora si convertimos a unidades estándar, derivamos que, para valores grandes de n, el estadístico.
z= x-npnp(1-p)
Esun valor de una muestra aleatoria que tiene aproximadamente la distribución normal estándar. Si sustituimos esta expresión por z en la desigualdad
-Z ∝2<Z<Z ∝2
Y usamos cierta algebra relativamente simple, llegamos a la desigualdad
xn- Z ∝2p(1-p)n<p<xn+z∝2p(1-p)n
Que parece una formula del intervalo de confianza para p.de hecho, si la usamos en repetidas ocasiones, se debesatisfacer la desigualdad (1-∝)100% del tiempo, pero obsérvese que el parámetro desconocido p aparece no sólo en la parte media, sino también en p(1-p)n a la izquierda del primer signo de desigualdad y a la derecha del otro. La cantidad p(1-p)n se conoce como el error estándar de la proporción, como es de hecho, la desviación estándar de la distribución muestral de una proporción de una muestra. Paraevitar esta dificultad y al mismo tiempo simplificar la fórmula resultante, sustituimos p= xn por p p(1-p)n, donde p se lee como “p con acento circunflejo”.
Tamaño de la muestra para estimar p (con cierta información sobre p)
n=p(1-p)Z∝2E2
Ya que la formula comprende p, no se puede usar a menos de que se cuente con cierta información acerca de los valores posibles que podría tomar. Ene se caso,sustituimos por cualquiera de sus valores que se aproxime más a 12. Si en tal información, hacemos uso del hecho de que p (1-p)no puede ser mayor que 14 (que es el resultado para p=12) y usamos la formula.
Tamaño de la muestra para estimar p (sin información sobre p)
n=14Z∝2E2
En cualquier caso, puesto que el valor que obtenemos para no podría ser mayor de lo necesario, podemos decir que laprobabilidad de que nuestro error no sea mayor que E es como mínimo 1-∝.
La estimación de proporciones
(Un método bayesiano)
En una estimación bayesiana, este parámetro se considera como una variable aleatoria que tiene una distribución a priori que refleja nuestra posición acerca de los valores que puede tomar. Al igual que en la estimación bayesiana de las medias, enfrentamos, por tanto, elproblema de combinar información a priori con evidencia muestral directa.
Pruebas referentes a proporciones
Las pruebas de las hipótesis nos permiten decidir, con base en datos muéstrales, si el valor real de una proporción (un porcentaje o una probabilidad) es igual, mayor o menor que una constante dada. Cuando n es pequeña, las pruebas referentes a las proporciones se pueden basar directamente en...