Intervalos

Intervalos:
Los intervalos son una forma de expresar un segmento (parte finita y continua) de la recta real. Como todo segmento para identificarlo solo necesitamos de sus dos extremos, principio y ´ final y al darlo nos estaremos refiriendo a todos los numeros que quedan comprendidos entre ´ esos extremos. Sin embargo podr´amos optar por incluir o no los extremos. Por ejemplo: ı Si la solucion alproblema es el radio de una circunferencia y queremos expresar que la ´ solucion es un radio comprendido entre 0 y 5, no deseamos incluir el 0 (una circunferencia ´ de radio 0 no tiene sentido). Sin embargo muchas otras veces s´ querremos contar con los extremos del intervalo. ı Para solucionar este problema contamos con 2 notaciones: corchete [] para referirnos a ´ que s´ tomamos los extremos ypar´ ntesis para referirnos a que no los tomamos. ı e Adem´ s para poder contar con todas las posibilidades podemos combinar ambas notaciones a y emplear corchete en un extremo del intervalo y par´ ntesis en el otro para expresar que e tomamos solo uno de los extremos (aquel que tenga corchete). Ejemplos: ´ • [3,5] = Todos los numeros reales entre el 3 y el 5, incluidos el 3 y el 5. ´ • (3,5] = Todoslos numeros reales entre el 3 y el 5, incluido el 5 pero sin tomar el 3. ´ • [3,5) = Todos los numeros reales entre el 3 y el 5, incluido el 3 pero sin tomar el 5. ´ • (3,5) = Todos los numeros reales entre el 3 y el 5, excluyendo el 3 y el 5. ´

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Inecuaciones
Como su propio nombre indica una inecuacion es el contrario de una ecuacion en el sentido ´ ´ de que en vez de estar dada por unaigualdad, lo que la define es una desigualdad. Distinguimos cuatro tipos de desigualdades: a < b: a menor estricto que b a > b: a mayor estricto que b a b: a mayor o igual que b a b: a menor o igual que b Observa que las inecuaciones dadas por las desigualdades nion de una inecuacion estricta y una ecuacion. ´ ´ ´ y no son mas que la reu-

Para resolver inecuaciones sin incognitas en eldenominador seguiremos los siguientes pasos: ´ • Sustituiremos la desigualdad en la que se exprese la inecuacion por una igualdad, con lo ´ que obtendremos una ecuacion. ´ • Resolvemos la ecuacion. ´ • Las soluciones a la ecuacion suponen una particion de la recta real en intervalos. Tomamos ´ ´ un numero de cada particion. ´ ´ • Para cada uno de los numeros antes seleccionados, comprobamos si ladesigualdad original ´ es v´ lida. a • Para cada numero que verifica la inecuacion tomamos el intervalo que lo contiene. ´ ´ • Finalmente la solucion a la inecuacion es la reunion de todos los intervalos obtenidos en el ´ ´ ´ paso interior, incluyendo los extremos solo si la inecuacion no es estricta. ´ ´ Ejemplo: 2x + 3 < 6x − 9 Resolvemos: 2x + 3 = 6x − 9 ⇒ 3 + 9 = 6x − 2x ⇒ 12 = 4x ⇒ x =
12 4

=3

´Esto genera una particion de la recta real en (−∞, 3) , (3, +∞). Podemos tomar en el primer ´ intervalo el 0 y en el segundo 4. Probemos en la inecuacion inicial ambos valores: ´ 2 · 0 + 3 < 6 · 0 − 9 ↔ 3 < −9 Absurdo 2 · 4 + 3 < 6 · 4 − 9 ↔ 8 + 3 < 24 − 9 ↔ 11 < 15 Cierto Con lo cual la solucion a la inecuacion es la reunion de todos aquellos intervalos en que ´ ´ ´ hayamos verificado ladesigualdad, en este caso solo (3, +∞) sin tomar los extremos del in´ ´ tervalo porque la desigualdad que define la inecuacion es estricta. ´ Inecuaciones con incognitas en el denominador: ´ Si tenemos incognitas en el denominador, debemos incluir mas pasos en la resolucion de ´ ´ la inecuacion. Una de las operaciones que hemos visto hasta ahora a lo largo del curso que ´ no se puede resolver es la divisionentre 0. As´ si existen incognitas en el denominador, ´ ı ´ debemos vigilar para que valores de x se anulan los denominadores. Los pasos para resolver una inecuacion con incognitas en el denominador son los siguientes (una ampliacion de los ´ ´ ´ anteriores): • Sustituiremos la desigualdad en la que se exprese la inecuacion por una igualdad, con ´ lo que obtendremos una ecuacion. ´ 2

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