introducción matemática a las ecuaciones diferenciales

TEMA 1: Ecuaciones diferenciales. Tipos.

1.

Definiciones y conceptos b´sicos.
a

En este primer apartado vamos a dar las definiciones generales sobre ecuaciones diferenciales
para que el alumno se familiarice con el concepto de ecuaci´n diferencial ordinaria, la noci´n
o
o
de soluci´n y resoluci´n de una ecuaci´n diferencial. Nuestra primera meta consistir´ en
o
o
o
a
expresar enla forma y = f (x, y) las distintas ecuaciones diferenciales que definamos, ya que
para las ecuaciones de esta forma son para las que daremos los teoremas de existencia y
unicidad en el Tema 2.
Definici´n 1.1 Una ecuaci´n diferencial ordinaria de primer orden es una relaci´n de la
o
o
o
forma :
F (x, y, y ) = 0
(1)
donde F es una funci´n definida en un dominio1 D no vac´ de R3 , x es unavariable indeo
ıo
pendiente, y es una funci´n de x e y la derivada de y con respecto a x.
o
La palabra ordinaria, tanto en esta definici´n como en lo que sigue, significa que en la ecuaci´n
o
o
diferencial s´lo interviene una variable independiente. En el tema 8 ya definiremos lo que se
o
conoce como “ecuaciones diferenciales en derivadas parciales”.
Definici´n 1.2 Una funci´n ϕ(x), definida yderivable en el intervalo ]a, b[(a < b) donde a
o
o
y b pueden tomar valores infinitos, se dice que es una soluci´n o integral de la ecuaci´n (1)
o
o
en ]a, b[ si para cada x ∈]a, b[ el punto (x, ϕ(x), ϕ (x)) ∈ D , y al sustituir y por ϕ(x), y por
ϕ (x) en (1), dicha relaci´n se reduce a una identidad.
o
Resolver o integrar una ecuaci´n diferencial ordinaria es obtener las soluciones dedicha
o
ecuaci´n.
o
Ejemplo 1.1 Consideremos la ecuaci´n diferencial F (x, y, y ) = 0, donde
o
F (x, y, y ) = −8x3 + (y )3 .
1

Un dominio es un conjunto abierto y conexo.

1

Es una ecuaci´n diferencial ordinaria de primer orden, donde F est´ definida en todo R3 . La
o
a
2
funci´n f (x) = x definida y derivable en toda la recta real es una soluci´n de dicha ecuaci´n.
o
o
o
Enefecto, como f (x) = 2x se tiene
−8x3 + (y )3 = −8x3 + (2x)3
= 0
Ejemplo 1.2 Consideremos la ecuaci´n diferencial F (x, y, y ) = 0, donde
o
F (x, y, y ) = (y )2 + e3yx + 1.
En este caso no existe soluci´n pues el t´rmino (y )2 + e3yx + 1 es siempre positivo.
o
e
Ejercicio 1.1
• Comprobar que la funci´n f (x) = e−3x + 5 es soluci´n de la ecuaci´n diferencial
o
o
o
y + 3y = 15
en R.
2• Comprobar que la funci´n g(x) = 1 + e− x es soluci´n de la ecuaci´n diferencial
o
o
o
y −

2
2
y+ 2 =0
2
x
x

en (0, +∞).
• Sea c una constante arbitraria. Comprobar que la funci´n definida por la ecuaci´n ( forma
o
o
2
3
impl´
ıcita) xy − y = c es soluci´n de la ecuaci´n diferencial
o
o
(2x − 3y) y + y = 0.
Definici´n 1.3 Si una ecuaci´n diferencial ordinaria de primerorden puede escribirse en
o
o
la forma:
y = f (x, y)

(2)
2

donde f es una funci´n definida en un dominio del plano R , se dice que dicha ecuaci´n
o
o
est´ en forma normal.
a
Definici´n 1.4 Un sistema de ecuaciones diferenciales en forma normal es un conjunto de
o
ecuaciones diferenciales ordinarias
yi = fi (x, y1 , . . . , yn ) , i = 1, 2, . . . , n
n+1

(3)

donde cada fi esuna funci´n definida en un dominio D ⊂ R
o
no vac´ a valores reales, x
ıo
es una variable independiente e y1 , y2 , . . . , yn funciones de x, siendo yi la derivada de yi con
respecto a x, i = 1, 2, . . . , n.
2

Definici´n 1.5 Un conjunto de funciones (ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . , ϕn (x)), definidas y derivables
o
en ]a, b[(a < b), donde a y b pueden tomar valores infinitos, se dice que es unasoluci´n del
o
sistema (3) en ]a, b[, si para cada x perteneciente a ]a, b[ se tiene que
(x, ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . , ϕn (x)) ∈ D
y al sustituir yi por ϕi (x) e yi por ϕi (x), i = 1, 2, . . . , n, en (3), dicha relaci´n se reduce a
o
una identidad.
Resolver o integrar un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias como el propuesto es
obtener las soluciones de dicho sistema.
Ejemplo...