Isometrias de planos

Isometrías del plano

Introducción

Nuestro entorno está formado por objetos colocados en multitud de posiciones y formas. A veces, la naturaleza, o el hombre, se vuelven caprichosos en sus disposiciones apareciendo objetos con formas geométricas.
Por ello, aunque una isometría es una noción matemática, presenta gran conexión con el mundo real. Un hecho evidente es que el hombre puedeobservar su entorno y encontrar una gran variedad de elementos geométricos creados a partir de isometrías. Esta cualidad hace que, desde el punto de vista didáctico, se favorezca la enseñanza de las isometrías, resultando éstas atractivas para la mayoría de los estudiantes.
El artículo comienza con las nociones de transformación e isometría a través de los conceptos de traslación, giro y simetría. Enla segunda parte se expondrán ejemplos de isometrías de nuestro entorno cotidiano y, en el último apartado, se mostrarán algunas teselaciones en el arte, la pintura y la arquitectura.

¿Qué son las isometrías?

Para poder definir el término isometría hay que comprender el concepto de transformación. La idea de transformación está asociada a la de cambio. Cuando una transformación se aplica a unobjeto provoca en él una alteración relativa a alguno de sus atributos. Hay varios tipos de transformaciones; entre ellas, las que cambian el tamaño o la forma de un objeto o una figura. Algunos ejemplos de este tipo de transformaciones son las dilataciones o ampliaciones, que cambian el tamaño de un objeto pero no cambian su forma; y las transformaciones, que no cambian ni el tamaño ni la forma,como por ejemplo las traslaciones, rotaciones y las simetrías
Las transformaciones geométricas que conservan el tamaño (distancias) y la forma (ángulos) son conocidas como isometrías o movimientos. Luego las simetrías, rotaciones y traslaciones son isometrías.
Habitualmente realizamos isometrías en nuestras actividades cotidianas; por ejemplo, al desplazarnos de un lado a otro de la clase enlínea recta nos estamos trasladando; al conducir hacemos giros con el volante y, si nos miramos en un espejo, la imagen que se obtiene sería nuestra simetría.
No obstante, para que queden bien aclarados estos términos, pasaremos a mostrar la defi nición matemática de cada uno de estos movimientos1. Las traslaciones son transformaciones que quedan determinadas por un vector. Una traslación de vectoru es una transformación que asigna a cualquier punto P del plano otro punto P’ de manera que PP’ = u. Se dice que P’ es la imagen de P por la traslación de vector u.

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Las simetrías axiales o reflexiones son transformaciones que quedan determinadas por una recta (eje de simetría). Una simetría de eje r es una transformación que asigna a cualquier punto P del plano otro punto P’ de maneraque PP’ es perpendicular a r y la distancia de P a r sea igual que la de P’ a r.

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Los giros o rotaciones son transformaciones que quedan determinadas por un punto (centro) y un ángulo orientado. Un giro de centro O y ángulo a es una transformación que asigna a cualquier punto P del plano otro punto P’ de modo que a sea el ángulo formado por POP’ y la distancia de P al centro sea lamisma que la de P’ al centro.

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La rotación de la fi gura anterior corresponde a un giro de 180 grados, donde el centro de giro está marcado en rojo. A los giros de 180 grados también se les conoce como simetrías centrales. Hay que precisar que estas simetrías, por su defi nición, no poseen eje, sino centro de simetría. De esta forma, una simetría central de centro O es una transformaciónque asigna a cualquier punto P del plano otro punto P’, de manera que O pertenece a la recta que pasa por P y P’ y la distancia de P a O es la misma que la de P’ a O.//
Para fi nalizar con estas defi niciones, hay que mencionar que, en la práctica, no suele darse un movimiento simple, sino una composición de varios movimientos. Por ejemplo, si alguien dice: ‘date la vuelta y ven hacia mí’, se...