Isometrias

Transformaciones Isométricas

Embaldosado o Teselaciones

Embaldosar o teselar, significa recubrir el plano con figuras que se repiten de modo que al unir las figuras se recubre completamente el plano y la intersección de dos figuras es vacía (sin huecos).
Ejemplo:

Teselación Regular

La Teselación regular es el cubrimiento del plano con polígonos regulares y congruentes. Son sólo treslos polígonos regulares que cubren (o embaldosan) el plano: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.

Teselación Semi-Regular

Una Teselación semi-regular es aquella que está formada por polígonos regulares de manera que la unión de ellos es idéntica en cada vértice Las siguientes ocho figuras, son las únicas combinaciones de polígonos regulares que permiten embaldosar completamente el plano.

Los números que se encuentran en cada una de las figuras indican cuántos polígonos regulares de qué tipo son necesarios en cada caso, por ejemplo:
(3,3,3,3,6) significa que podemos crear una teselación semi-regular tomando como patrón base cuatro triángulos y un hexágono.

El embaldosado con Transformaciones Isométricas
La simple observación y análisis de embaldosados,nos permite comprobar que estos se construyen en base a  transformaciones isométricas. La Traslación, Rotación y Reflexión o Simetría son tres transformaciones isométricas mediante las cuales puede hacerse coincidir una figura consigo misma.

TRASLACIÓN

Isometría determinada por un vector. O sea, el movimiento de traslación tiene:
Dirección: horizontal, vertical y oblicua.
Sentido: Derecha,izquierda, arriba, abajo.
Magnitud: Distancia entre la posición inicial y la posición final de cualquier punto de la figura.

¿Cómo encontrar el vector traslación en un eje de coordenadas?
En la figura siguientes el triángulo E’F’G’ es el trasladado del triángulo EFG

[pic]

Observamos que la coordenada de E es (2,2) y que la de E’, su imagen, es (5,4). Entonces concluimos que E sedesplazó 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.
Comprueba que ocurre lo mismo con F y G, con respecto a F’ y G’.
Entonces el vector de traslación del triángulo EFG es (3,2).

ROTACIÓN

Isometría en que todos los puntos giran un ángulo constante con respecto a un punto fijo. El punto fijo se denomina centro de rotación y la cantidad de giro se denomina ángulo de rotación. O sea todoslos puntos de la figura son rotadas a través de círculos concéntricos en O y ellos describen los mismos arcos (en medida angular) de estos círculos.

REFLEXIÓN

Una reflexión o simetría axial es una simetría que está determinada por una recta llamada eje de simetría.

En la figura se ve que la parte que está a la derecha del eje y, es exactamente igual a la parte que está a la izquierda deeste mismo eje. Entonces hablamos de figuras simétricas y el eje de simetría corresponde al eje de las ordenadas.
La distancia desde A al eje y es la misma que de A’ a este eje. Lo mismo ocurre con los restantes puntos homólogos del triángulo.

Por ejemplo, si dibujamos una mariposa, diremos que es simétrica, pues al trazar una línea recta por el centro de ella, y se doblara el papel por esalínea, la parte que está a la derecha de la línea sería exactamente igual a la parte que está a la izquierda de esa misma línea.

EJERCICIOS

1. ¿Cuál de las siguientes letras de nuestro abecedario no tiene ningún eje de simetría?

|a) C |b) M |c) A |d) R |e) X |

2. Los triángulos 2, 3, 4 y 5 hansido obtenidos a partir del triángulo 1. ¿Cuál de ellos corresponde a la reflexión del triángulo 1?

|a) triángulo 2 |b) triángulo 3 |c) triángulo 4 |d) triángulo 5 |e) Ninguno |

[pic]

3. ¿Cuál de las siguientes alternativas no corresponde a una transformación isométrica?

|a) Traslación |b) Simetría |c) Rotación...