LA DERIVADA UNIDAD 3

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO.


ESCUELA NACIONAL PREPARATORIA #8 “MIGUEL E. SCHULZ”


TRABAJO: UNIDADES TRES Y CUATRO MATEMÁTICAS VI.

MATERIA: MATEMÁTICAS.


MAESTRA: FIGUEROA CAMPOS SILVIA.





















UNIDAD 3: LA DERIVADA.

TEMAS:
1. Derivada: Incrementos.
2. Definición de derivada y sus notaciones.
3. Obtención de derivadas a partir de la definición.
4. Teoremasde derivación.
5. Derivada de una Función de función
6. Tablas de fórmulas de derivación.
7. Derivada de funciones implícitas.
8. Derivada de funciones sucesivas.
9. Ecuaciones de la tangente y de la normal a una curva. Ángulo formado por dos curvas que se cortan.
10. Cálculo de velocidad y aceleración de un móvil.
11. Velocidad Instantánea.
12. Máximos y Mínimos relativos de una función.Absolutos en un intervalo cerrado.
13. Puntos de inflexión y de concavidad de una curva.

DESARROLLO:

1. Derivada: Incrementos.
En la matemática se considera el incremento de una variable como el aumento o disminución que experimenta desde un valor a otro , valores que deben estar comprendidos dentro de su campo de variación. Esto lo podemos simbolizar de la siguiente manera:


Ejemplo:
Hallarsi la variable cambia de

Luego:




2. Definición de derivada y sus notaciones.
Dada una función y = f(x), la derivada mide la variación de y, cuando hay una pequeña variación de x.
La definición de la derivada de la función y=f(x), es:
Por lo tanto, para que exista la derivada de una función en un punto, tiene que existir ese límite. Cuando no existe este límite, se dice que la función noes derivable en ese punto.
Para representar la derivada de una función se utilizan los símbolos: y', f'(x) y dy/dx.
Notación.-
Existen 3 tipos diferentes de notación, creados por diferentes matemáticos. Estos son:
a. Notación de Newton para Derivadas:
En la notación de Newton para la diferenciación se representa la diferenciación mediante un punto o comilla situado sobre el nombre de la función, yque Newton denominó fluxion.
La notación de Isaac Newton se utiliza fundamentalmente en mecánica. Se define como:


etcétera.
Aunque no es útil para derivadas de mayor orden, en mecánica e ingeniería es útil ya que el uso de derivadas de mayor orden no es habitual. En física y otros campos, la notación de Newton es muy utilizada para la derivada respecto del tiempo, lo que permite diferenciarlade la pendiente o derivada de la posición.
Notación de Leibnz para Derivadas:
En esta notación se representa la operación de diferenciar mediante el operador , es decir, la operación "derivada de la función f respecto de x" se representaría de este modo como un cociente de diferenciales. La belleza y utilidad de esta notación consiste en que permite recordar intuitivamente varios conceptos básicosdel cálculo tales como la regla de la cadena, que con esta notación parece obvia debido a la cancelación de diferenciales (a pesar de que este razonamiento es incorrecto) ; o bien el concepto de separación de variables en la resolución de ecuaciones diferenciales .
La notación de Leibniz también es especialmente útil cuando se trabaja con derivadas parciales de funciones multivariables y susoperadores derivados (gradiente, laplaciano, rotacional, divergencia, etc.) ya que indica en cada momento la variable de la función que se considera independiente, dejando el resto de variables como constantes en lo que se refiere a la derivación parcial.
Notación para derivadas de orden superior.

Se utiliza la siguientes notaciones para representar las derivadas de orden superior
1ra Derivada
;  ;;  ;  ;
2da Derivada
;  ;  ;  ;  ;
3ra Derivada
;  ;  ;  ; 
n-Derivada
;  ;  ;
Cuando el orden de la derivada es mayor a o igual a 4 hay ciertas notaciones que ya no se utilizan.
3. Obtención de las derivadas a partir de su definición.
El proceso para calcular una derivada se llama diferenciación. Con el propósito de hacer hincapié en la idea de que la diferenciación es una operación que se...